Ре­ше­ние. Диа­го­на­ли ромба пе­ре­се­ка­ют­ся под углом 90° и точ­кой пе­ре­се­че­ния де­лят­ся по­по­лам. Из ри­сун­ка видно, что диа­го­на­ли AC и BD равны 8 и 6 со­от­вет­ствен­но. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка, ка­те­та­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся по­ло­ви­ны диа­го­на­лей ромба, а ги­по­те­ну­зой  — сто­ро­на ромба, по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра найдём сто­ро­ну ромба: Так как все сто­ро­ны ромба равны, то пе­ри­метр равен:

Ответ: 20.

Ре­ше­ние. Про­ве­дем до­пол­ни­тель­ные по­стро­е­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Найдём длину диа­го­на­ли по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Из ри­сун­ка видно, что вто­рая диа­го­наль равна 9. Сле­до­ва­тель­но, длина мень­шей диа­го­на­ли равна 5.

Ответ: 5.

Ре­ше­ние. По­ка­жем, что диа­го­наль BD па­рал­ле­ло­грам­ма яв­ля­ет­ся его вы­со­той. От­рез­ки AB, AD и BD най­дем как ги­по­те­ну­зы пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков AKB, ALD и BMD (см. рис.) по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

По тео­ре­ме, об­рат­ной тео­ре­ме Пи­фа­го­ра, из ра­вен­ства сле­ду­ет, что тре­уголь­ник ADB  — пря­мо­уголь­ный с пря­мым углом D. Сле­до­ва­тель­но, BD  — вы­со­та па­рал­ле­ло­грам­ма, и не­об­хо­ди­мо найти от­но­ше­ние

Ответ: 2.

При­ме­ча­ние.

«Уви­деть» и по­ка­зать пер­пен­ди­ку­ляр­ность пря­мых AD и DB можно иначе.

Чи­та­тель, зна­ко­мый с три­го­но­мет­ри­ей, за­ме­тит, что углы ADL и NDB равны, по­сколь­ку их тан­ген­сы равны, а тогда

Чи­та­тель, вспом­нив­ший усло­вие пер­пен­ди­ку­ляр­но­сти пря­мых, сразу ска­жет, что

Чи­та­тель, зна­ко­мый с век­то­ра­ми, без труда про­ве­рит, что

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

Вы­де­лен­ные на ри­сун­ке синим цве­том пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки равны, а по­то­му и ги­по­те­ну­зы их равны. Сле­до­ва­тель­но, а по­то­му

Ответ: 2.

Ре­ше­ние. Из ри­сун­ка найдём вы­со­ту, про­ведённую из точки C к сто­ро­не AB, по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра по­лу­ча­ем:

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра найдём длину сто­ро­ны AB:

Сто­ро­на AB боль­ше вы­со­ты, про­ведённой из точки C к сто­ро­не AB, в

Ответ: 1,5.

Ре­ше­ние. До­стро­им угол до пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка с ка­те­та­ми 3 и 4. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра найдём длину ги­по­те­ну­зы:

Синус угла пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равен от­но­ше­нию про­ти­во­ле­жа­ще­го ка­те­та к ги­по­те­ну­зе, зна­чит, он равен:

Ответ: 0,6.

Ре­ше­ние. Из ри­сун­ка видно, что вы­со­та, про­ведённая из точки B к ос­но­ва­нию AD, яв­ля­ет­ся от­рез­ком BD  — диа­го­на­лью тра­пе­ции. По клет­кам по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра можем найти BC и BD:

Так как BD яв­ля­ет­ся вы­со­той па­рал­ле­ло­грам­ма, то сто­ро­на BC мень­ше вы­со­ты BD в

Ответ: 3.

Ре­ше­ние. Про­ве­дем до­пол­ни­тель­ные по­стро­е­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Найдём длину диа­го­на­ли по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Из ри­сун­ка видно, что вто­рая диа­го­наль равна 8. Сле­до­ва­тель­но, длина боль­шей диа­го­на­ли равна 10.

Ответ: 10.

Ре­ше­ние. До­стро­им угол до пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка с ка­те­та­ми 5 и 6. Тан­генс угла пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равен от­но­ше­нию про­ти­во­ле­жа­ще­го ка­те­та к при­ле­жа­ще­му, зна­чит, он равен

Ответ:

Ре­ше­ние. Ме­ди­а­на, про­ве­ден­ная из вер­ши­ны B, будет де­лить ос­но­ва­ние AC по­по­лам. По­стро­им ме­ди­а­ну BK. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра найдём длину ме­ди­а­ны:

Ответ: 5.

Ре­ше­ние. Из ри­сун­ка видно, что вы­со­та, про­ведённая из точки B к ос­но­ва­нию AD, яв­ля­ет­ся от­рез­ком BD, диа­го­на­лью тра­пе­ции. Про­ве­дя до­пол­ни­тель­ные по­стро­е­ния, по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра найдём AD и BD:

Так как BD яв­ля­ет­ся вы­со­той па­рал­ле­ло­грам­ма, то сто­ро­на AD мень­ше вы­со­ты BD в

Ответ: 1,5.

Ре­ше­ние. До­стро­им угол до пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка с ка­те­та­ми 8 и 6. Тан­генс угла пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равен от­но­ше­нию про­ти­во­ле­жа­ще­го ка­те­та к при­ле­жа­ще­му, зна­чит, он равен

Ответ: 0,75.

Ре­ше­ние. Про­ведём вы­со­ту CK из вер­ши­ны C к сто­ро­не AB как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра найдём вы­со­ту:

Ана­ло­гич­но найдём сто­ро­ну AB: Сто­ро­на AB мень­ше вы­со­ты, про­ведённой к этой сто­ро­не, в

Ответ: 2.

Ре­ше­ние. Ме­ди­а­на, про­ве­ден­ная из вер­ши­ны B, будет де­лить ос­но­ва­ние AC по­по­лам. По­стро­им ме­ди­а­ну BK. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра на­хо­дим длину ме­ди­а­ны:

Ответ: 10.

Ре­ше­ние. Про­ве­дем до­пол­ни­тель­ные по­стро­е­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Найдём длину диа­го­на­ли по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Из ри­сун­ка видно, что вто­рая диа­го­наль равна 11. Сле­до­ва­тель­но, длина мень­шей диа­го­на­ли равна 5.

Ответ: 5.

Ре­ше­ние. До­стро­им угол до пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка с ка­те­та­ми 4 и 5. Тан­генс угла пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равен от­но­ше­нию про­ти­во­ле­жа­ще­го ка­те­та к при­ле­жа­ще­му, зна­чит, он равен

Ответ: 1,25.

Ре­ше­ние. Из ри­сун­ка найдём вы­со­ту, про­ведённую из точки C к сто­ро­не AB, по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра по­лу­ча­ем:

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра найдём длину сто­ро­ны AB:

Сто­ро­на AB боль­ше вы­со­ты, про­ведённой из точки C к сто­ро­не AB, в

Ответ: 3.

Ре­ше­ние. Найдём длину ос­но­ва­ния BC по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Найдём длину ос­но­ва­ния AD по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Тогда ос­но­ва­ние AD боль­ше ос­но­ва­ния BC в раза.

Ответ: 2.

Ре­ше­ние. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра найдём длину ги­по­те­ну­зу:

Ответ: 13.

Ре­ше­ние. Обо­зна­чим вы­со­ту, про­ведённую из точки B к сто­ро­не AD от­рез­ком BH. За­ме­тим, что от­рез­ки AD и BH яв­ля­ют­ся ги­по­те­ну­за­ми пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра найдём AD и BH:

Так как BH яв­ля­ет­ся вы­со­той па­рал­ле­ло­грам­ма, то сто­ро­на AD мень­ше вы­со­ты, про­ведённой из точки B к сто­ро­не AD, в раза.

Ответ: 3.

Ре­ше­ние. Найдём длину ос­но­ва­ния AD по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Найдём длину вы­со­ты по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Тогда ос­но­ва­ние AD боль­ше вы­со­ты тра­пе­ции в раза.

Ответ: 3.

Ре­ше­ние. Длина сред­ней линии равна по­ло­ви­не сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка, ко­то­рой она па­рал­лель­на. За­ме­тим, что боль­шая сред­няя линия долж­на быть па­рал­лель­на боль­шей сто­ро­не пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка  — ги­по­те­ну­зе. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра найдём длину ги­по­те­ну­зы:

Зна­чит, длина боль­шей сред­ней линии тре­уголь­ни­ка равна

Ответ: 5.

Ре­ше­ние. Найдём длину ос­но­ва­ния AD по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Найдём длину ос­но­ва­ния BC по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Тогда ос­но­ва­ние BC мень­ше ос­но­ва­ния AD в раза.

Ответ: 2.

Ре­ше­ние. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра найдём длину ги­по­те­ну­зы:

Ответ: 15.

Ре­ше­ние. Ме­ди­а­на, про­ве­ден­ная из вер­ши­ны B, будет де­лить ос­но­ва­ние AC по­по­лам. По­стро­им ме­ди­а­ну BK. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра найдём длину ме­ди­а­ны:

Ответ: 5.

Ре­ше­ние. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра найдём длину ги­по­те­ну­зы:

Ответ: 17.

Ре­ше­ние. Длина сред­ней линии равна по­ло­ви­не сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка, ко­то­рой она па­рал­лель­на. За­ме­тим, что боль­шая сред­няя линия долж­на быть па­рал­лель­на боль­шей сто­ро­не пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка  — ги­по­те­ну­зе. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра найдём длину ги­по­те­ну­зы:

Зна­чит, длина боль­шей сред­ней линии тре­уголь­ни­ка равна

Ответ: 8,5.

Ре­ше­ние. Найдём длину ос­но­ва­ния AD по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Найдём длину вы­со­ты по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Тогда ос­но­ва­ние AD боль­ше вы­со­ты тра­пе­ции в раза.

Ответ: 3.

Ре­ше­ние. До­стро­им угол до пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка с ка­те­та­ми 7 и 6. Тан­генс угла пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равен от­но­ше­нию про­ти­во­ле­жа­ще­го ка­те­та к при­ле­жа­ще­му, зна­чит, он равен

Ответ:

Ре­ше­ние. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра найдём длину ги­по­те­ну­зы:

Ответ: 13.

Ре­ше­ние. Сде­ла­ем до­пол­ни­тель­ные по­стро­е­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Найдём ос­но­ва­ние тра­пе­ции ВС как ги­по­те­ну­зу пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка BKC по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Найдём вы­со­ту тра­пе­ции CL как ги­по­те­ну­зу пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка LMC по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Тогда ос­но­ва­ние ВС тра­пе­ции мень­ше ее вы­со­ты в

Ответ: 4.

Ре­ше­ние. Сде­ла­ем до­пол­ни­тель­ные по­стро­е­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Найдём вы­со­ту тра­пе­ции как ги­по­те­ну­зу пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Найдём ос­но­ва­ние тра­пе­ции BC как катет пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Тогда ос­но­ва­ние ВС тра­пе­ции, про­ведённой из точки C к сто­ро­не AD, в

Ответ: 2.

Ре­ше­ние. Сде­ла­ем до­пол­ни­тель­ные по­стро­е­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Найдём ос­но­ва­ние тра­пе­ции ВС как ги­по­те­ну­зу пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Найдём вы­со­ту тра­пе­ции как ги­по­те­ну­зу пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Тогда ос­но­ва­ние ВС тра­пе­ции боль­ше ее вы­со­ты в

Ответ: 2.

Ре­ше­ние. Обо­зна­чим вы­со­ту, про­ведённую из точки C к сто­ро­не AD от­рез­ком CH. За­ме­тим, что от­рез­ки AD и CH яв­ля­ют­ся ги­по­те­ну­за­ми пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра найдём AD и CH:

По­сколь­ку CH яв­ля­ет­ся вы­со­той па­рал­ле­ло­грам­ма, то сто­ро­на AD мень­ше вы­со­ты, про­ведённой из точки C к сто­ро­не AD, в

Ответ: 1,5.

Ре­ше­ние. Найдём длину ос­но­ва­ния AD по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Найдём длину вы­со­ты по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Тогда ос­но­ва­ние AD боль­ше вы­со­ты тра­пе­ции в

Ответ: 3.

Ре­ше­ние. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра найдём длину ги­по­те­ну­зу:

Ответ: 5.

Ре­ше­ние. Ка­те­ты пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равны 12 и 9. Най­дем длину его ги­по­те­ну­зы по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Ответ: 15.