Сумма ста на­ту­раль­ных чисел равна 5000. Все эти числа раз­би­ли на три груп­пы, причём во всех груп­пах раз­ное ко­ли­че­ство чисел. Из­вест­но, что:

— в пер­вой груп­пе 29 чисел, их сред­нее ариф­ме­ти­че­ское равно 21;

— сред­нее ариф­ме­ти­че­ское чисел вто­рой груп­пы равно 50;

— сред­нее ариф­ме­ти­че­ское чисел тре­тьей груп­пы – целое число.

Най­ди­те ко­ли­че­ство чисел в тре­тьей груп­пе.

На­зо­вем на­ту­раль­ное число па­лин­дро­мом, если в его де­ся­тич­ной за­пи­си все цифры рас­по­ло­же­ны сим­мет­рич­но (сов­па­да­ют пер­вая и по­след­няя цифра,вто­рая и пред­по­след­няя, и т. д.). На­при­мер числа 121 и 953 359 яв­ля­ют­ся па­лин­дро­ма­ми, а числа 10 и 953 953 не яв­ля­ют­ся па­лин­дро­ма­ми. Най­ди­те 37−е по по­ряд­ку число-па­лин­дром, ко­то­рое де­лит­ся на 15.

За по­бе­ду в шах­мат­ной пар­тии на­чис­ля­ют 1 очко, за ничью ─ 0,5 очка, за про­иг­рыш ─ 0 очков. В тур­ни­ре при­ни­ма­ют уча­стие m маль­чи­ков и d де­во­чек, причём каж­дый иг­ра­ет с каж­дым два­жды. Сколь­ко де­во­чек могло при­ни­мать уча­стие в тур­ни­ре, если из­вест­но, что их в 7 раз мень­ше, чем маль­чи­ков, и что маль­чи­ки на­бра­ли в сумме ровно в три раза боль­ше очков, чем де­воч­ки

За­пи­ши­те ре­ше­ние и ответ.

Крас­ный ка­ран­даш стоит 17 руб­лей, синий  — 13 руб­лей. Нужно ку­пить ка­ран­да­ши, имея всего 495 руб­лей и со­блю­дая до­пол­ни­тель­ное усло­вие: число синих ка­ран­да­шей не долж­но от­ли­чать­ся от числа крас­ных ка­ран­да­шей боль­ше чем на пять. Какое наи­боль­шее число ка­ран­да­шей можно ку­пить при таких усло­ви­ях?

Если по­стро­ить сол­дат по 11 че­ло­век в ше­рен­ге, то по­след­няя ше­рен­га ока­жет­ся не­пол­ной. Если же по­стро­ить их по 10 че­ло­век в ше­рен­ге, то все ше­рен­ги ока­жут­ся пол­ны­ми, но их число будет боль­ше на 2. Если же по­стро­ить тех же сол­дат в ше­рен­ги по 7 в каж­дой, то по­след­няя ше­рен­га опять будет не­пол­ной, а число ше­ренг уве­ли­чит­ся еще на 10. Сколь­ко всего сол­дат?

Если по­стро­ить сол­дат по 15 че­ло­век в ше­рен­ге, то по­след­няя ше­рен­га ока­жет­ся не­пол­ной. Если же по­стро­ить их по 14 че­ло­век в ше­рен­ге, то все ше­рен­ги ока­жут­ся пол­ны­ми, но их число будет боль­ше на 1. Если же по­стро­ить тех же сол­дат в ше­рен­ги по 9 в каж­дой, то по­след­няя ше­рен­га опять будет не­пол­ной, а число ше­ренг уве­ли­чит­ся еще на 9. Сколь­ко всего сол­дат?

Маша за­ду­ма­ла трёхзнач­ное число. Сумма цифр этого числа равна 7, а сумма квад­ра­тов цифр равна 27. Если из за­ду­ман­но­го числа вы­честь 396, то по­лу­чит­ся число, за­пи­сан­ное теми же циф­ра­ми, что и за­ду­ман­ное, но в об­рат­ном по­ряд­ке. Какое число за­ду­ма­ла Маша?

Паша за­ду­мал трёхзнач­ное число. Сумма цифр этого числа равна 8, а сумма квад­ра­тов цифр этого числа равна 24. Если из за­ду­ман­но­го числа вы­честь 198, то по­лу­чит­ся число, за­пи­сан­ное теми же циф­ра­ми, что и за­ду­ман­ное, но в об­рат­ном по­ряд­ке. Какое число за­ду­мал Паша?

На скла­де на­хо­дят­ся му­зы­каль­ные цен­тры двух типов. Му­зы­каль­ный центр пер­во­го типа весит 12 кг, вто­ро­го типа  — 15 кг. Му­зы­каль­ный центр пер­во­го типа стоит 8000 руб­лей, му­зы­каль­ный центр вто­ро­го типа  — 12000 руб­лей. Общий вес му­зы­каль­ных цен­тров равен 321 кг. Най­ди­те ми­ни­маль­ную и мак­си­маль­ную воз­мож­ные сум­мар­ные сто­и­мо­сти на­хо­дя­щих­ся на скла­де му­зы­каль­ных цен­тров.

На скла­де на­хо­дят­ся му­зы­каль­ные цен­тры двух типов. Му­зы­каль­ный центр пер­во­го типа весит 15 кг, вто­ро­го типа  — 18 кг. Му­зы­каль­ный центр пер­во­го типа стоит 6000 руб­лей, му­зы­каль­ный центр вто­ро­го типа  — 8000 руб­лей. Общий вес му­зы­каль­ных цен­тров равен 279 кг. Най­ди­те ми­ни­маль­ную и мак­си­маль­ную воз­мож­ные сум­мар­ные сто­и­мо­сти на­хо­дя­щих­ся на скла­де му­зы­каль­ных цен­тров в руб­лях.

На шах­мат­ном тур­ни­ре каж­дый из участ­ни­ков дол­жен был сыг­рать ровно одну пар­тию с каж­дым из про­чих, но два участ­ни­ка вы­бы­ли из тур­ни­ра, сыг­рав толь­ко по 4 пар­тии. По­это­му число пар­тий, сыг­ран­ных в тур­ни­ре, ока­за­лось рав­ным 62. Сколь­ко всего было участ­ни­ков тур­ни­ра?

На шах­мат­ном тур­ни­ре каж­дый из участ­ни­ков дол­жен был сыг­рать ровно одну пар­тию с каж­дым из про­чих, но два участ­ни­ка вы­бы­ли из тур­ни­ра, сыг­рав толь­ко по 3 пар­тии. По­это­му число пар­тий, сыг­ран­ных в тур­ни­ре, ока­за­лось рав­ным 110. Сколь­ко всего было участ­ни­ков тур­ни­ра?

За­ду­ма­но не­сколь­ко (не обя­за­тель­но раз­лич­ных) на­ту­раль­ных чисел. Эти числа и их все воз­мож­ные суммы (по 2, по 3 и т. д.) вы­пи­сы­ва­ют на доску в по­ряд­ке не­убы­ва­ния. Если какое-то число n, вы­пи­сан­ное на доску, по­вто­ря­ет­ся не­сколь­ко раз, то на доске остав­ля­ет­ся одно такое число n, а осталь­ные числа, рав­ные n, сти­ра­ют­ся. На­при­мер, если за­ду­ма­ны числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет за­пи­сан набор 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11. При­ве­ди­те все при­ме­ры за­ду­ман­ных чисел, для ко­то­рых на доске будет за­пи­сан набор 7, 8, 10, 15, 16, 17, 18, 23, 24, 25, 26, 31, 33, 34, 41.

На доске на­пи­са­но более 27, но менее 45 целых чисел. Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское этих чисел равно −5, сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех по­ло­жи­тель­ных из них равно 9, а сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех от­ри­ца­тель­ных из них равно −18. Каких чисел на­пи­са­но боль­ше: по­ло­жи­тель­ных или от­ри­ца­тель­ных?

В тур­ни­ре по шах­ма­там при­ни­ма­ют уча­стие маль­чи­ки и де­воч­ки. За по­бе­ду в шах­мат­ной пар­тии на­чис­ля­ют 1 очко, за ничью  — 0,5 очка, за про­иг­рыш  — 0 очков. По пра­ви­лам тур­ни­ра каж­дый участ­ник иг­ра­ет с каж­дым дру­гим два­жды. Сколь­ко де­во­чек могло при­ни­мать уча­стие в тур­ни­ре, если из­вест­но, что их в 9 раз мень­ше, чем маль­чи­ков, и что маль­чи­ки на­бра­ли в сумме ровно в че­ты­ре раза боль­ше очков, чем де­воч­ки?

Ма­стер де­ла­ет за один час целое число де­та­лей, боль­шее 18, а уче­ник  — на 10 де­та­лей мень­ше. Ма­стер вы­пол­ня­ет заказ за целое число часов, а три уче­ни­ка вме­сте  — на два часа быст­рее. Из ка­ко­го числа де­та­лей со­сто­ит заказ?

Ма­стер де­ла­ет за один час целое число де­та­лей, боль­шее 5, а уче­ник  — на 2 де­та­лей мень­ше. Ма­стер вы­пол­ня­ет заказ за целое число часов, а два уче­ни­ка вме­сте  — на час быст­рее. Из ка­ко­го числа де­та­лей со­сто­ит заказ?

На стан­цию при­вез­ли не­ко­то­рое ко­ли­че­ство кон­тей­не­ров. В каж­дом кон­тей­не­ре на­хо­ди­лось одно и то же число те­ле­ви­зо­ров (боль­шее 1). Те­ле­ви­зо­ры пе­ре­гру­зи­ли в ва­го­ны. По­лу­чи­лось 13 пол­ных ва­го­нов и еще один вагон, в ко­то­ром всего 5 те­ле­ви­зо­ров. Через не­сколь­ко дней при­вез­ли такие же кон­тей­не­ры. Те­ле­ви­зо­ры снова пе­ре­гру­зи­ли в ва­го­ны. На этот раз по­лу­чи­лось 6 ва­го­нов, причём в по­след­нем до пол­но­го ва­го­на не хва­та­ло од­но­го те­ле­ви­зо­ра. Сколь­ко те­ле­ви­зо­ров вме­ща­ет один кон­тей­нер?

На стан­цию при­вез­ли не­ко­то­рое ко­ли­че­ство кон­тей­не­ров. В каж­дом кон­тей­не­ре на­хо­ди­лось одно и то же число те­ле­ви­зо­ров (боль­шее 1). Те­ле­ви­зо­ры пе­ре­гру­зи­ли в ва­го­ны. По­лу­чи­лось 12 пол­ных ва­го­нов и еще один вагон, в ко­то­ром всего 5 те­ле­ви­зо­ров. Через не­сколь­ко дней при­вез­ли такие же кон­тей­не­ры. Те­ле­ви­зо­ры снова пе­ре­гру­зи­ли в ва­го­ны. На этот раз по­лу­чи­лось 5 ва­го­нов, при­чем в по­след­нем до пол­но­го ва­го­на не хва­та­ло од­но­го те­ле­ви­зо­ра. Сколь­ко те­ле­ви­зо­ров вме­ща­ет один кон­тей­нер?

Крас­ный ка­ран­даш стоит 18 руб­лей, синий  — 14 руб­лей. Нужно ку­пить ка­ран­да­ши, имея всего 495 руб­лей и со­блю­дая до­пол­ни­тель­ное усло­вие: число синих ка­ран­да­шей не долж­но от­ли­чать­ся от числа крас­ных ка­ран­да­шей боль­ше чем на пять. Какое наи­боль­шее число ка­ран­да­шей можно ку­пить при таких усло­ви­ях?

Из­вест­но, что в ко­шель­ке ле­жа­ло n монет, каж­дая из ко­то­рых могла иметь до­сто­ин­ство 2, 5 или 10 руб­лей. Аня сде­ла­ла все свои по­куп­ки, рас­пла­тив­шись за каж­дую по­куп­ку от­дель­но без сдачи толь­ко этими мо­не­та­ми, по­тра­тив при этом все мо­не­ты из ко­шель­ка. Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство пя­ти­рублёвых монет могло быть в ко­шель­ке, если Аня ку­пи­ла толь­ко аль­бом за 85 руб­лей и n  =  24?

Из­вест­но, что в ко­шель­ке ле­жа­ло n монет, каж­дая из ко­то­рых могла иметь до­сто­ин­ство 2, 5 или 10 руб­лей. Лена сде­ла­ла все свои по­куп­ки, рас­пла­тив­шись за каж­дую по­куп­ку от­дель­но без сдачи толь­ко этими мо­не­та­ми, по­тра­тив при этом все мо­не­ты из ко­шель­ка. Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство пя­ти­рублёвых монет могло быть в ко­шель­ке, если Лена ку­пи­ла толь­ко аль­бом за 96 руб­лей и n  =  19?

У Лены три на­бо­ра, в каж­дом из ко­то­рых оди­на­ко­вое ко­ли­че­ство ручек (боль­ше 1). У Юли не­сколь­ко (боль­ше 1) на­бо­ров ручек, по 5 штук в каж­дом. Можно ли раз­ло­жить все ручки Юли и Лены в k на­бо­ров по k ручек в каж­дом (k > 3)?

За­ду­ма­но не­сколь­ко (не обя­за­тель­но раз­лич­ных) на­ту­раль­ных чисел. Эти числа и их все воз­мож­ные суммы (по 2, по 3 и т. д.) вы­пи­сы­ва­ют на доску в по­ряд­ке не­убы­ва­ния. Если какое-то число n, вы­пи­сан­ное на доску, по­вто­ря­ет­ся не­сколь­ко раз, то на доске остав­ля­ет­ся одно такое число n, а осталь­ные числа, рав­ные n, сти­ра­ют­ся. На­при­мер, если за­ду­ма­ны числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет за­пи­сан набор 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11. При­ве­ди­те все при­ме­ры за­ду­ман­ных чисел, для ко­то­рых на доске будет за­пи­сан набор 9, 10, 11, 19, 20, 21, 22, 30, 31, 32, 33, 41, 42, 43, 52.

Семь экс­пер­тов оце­ни­ва­ют ки­но­фильм. Каж­дый из них вы­став­ля­ет оцен­ку  — целое число бал­лов от 0 до 10 вклю­чи­тель­но. Из­вест­но, что все экс­пер­ты вы­ста­ви­ли раз­лич­ные оцен­ки. По ста­рой си­сте­ме оце­ни­ва­ния рей­тинг ки­но­филь­ма  — это сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех оце­нок экс­пер­тов. По новой си­сте­ме оце­ни­ва­ния рей­тинг ки­но­филь­ма оце­ни­ва­ют сле­ду­ю­щим об­ра­зом: от­бра­сы­ва­ют­ся наи­мень­шая и наи­боль­шая оцен­ки и под­счи­ты­ва­ет­ся сред­нее ариф­ме­ти­че­ское остав­ших­ся оце­нок. Най­ди­те наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние раз­но­сти рей­тин­гов, вы­чис­лен­ных по ста­рой и новой си­сте­мам оце­ни­ва­ния.

Петя вы­пи­сал на доску пять на­ту­раль­ных (не обя­за­тель­но раз­лич­ных) чисел и вы­чис­лил все­воз­мож­ные по­пар­ные суммы этих чисел. По­лу­чи­лось всего три раз­лич­ных зна­че­ния: 97, 80 и 63. Чему равно наи­боль­шее из на­пи­сан­ных на доске чисел? За­пи­ши­те ре­ше­ние и ответ.

Паша вы­пи­сал на доску пять на­ту­раль­ных (не обя­за­тель­но раз­лич­ных) чисел и вы­чис­лил все­воз­мож­ные по­пар­ные суммы этих чисел. По­лу­чи­лось всего три раз­лич­ных зна­че­ния: 63, 56 и 49. Чему равно наи­боль­шее из на­пи­сан­ных на доске чисел?