Петя выписал на доску пять натуральных (не обязательно различных) чисел и вычислил всевозможные попарные суммы этих чисел. Получилось всего три различных значения: 97, 80 и 63. Чему равно наибольшее из написанных на доске чисел? Запишите решение и ответ.
Докажем, что среди написанных чисел есть одинаковые. Действительно, если все написанные числа разные, то различных попарных сумм должно быть не менее четырёх, например, суммы одного числа с четырьмя остальными. Значит, среди попарных сумм есть суммы двух одинаковых натуральных чисел. Такая сумма должна быть чётной, в нашем списке это число 80. Отсюда следует, что на доске есть число 40 и оно написано не меньше двух раз. Пар равных чисел, отличных от 40, на доске быть не может, иначе среди попарных сумм было бы ещё одно чётное число.
Обозначим одно из трёх оставшихся чисел через x, тогда среди попарных сумм есть число 40 + x значит, x равно либо
Наборы 40, 40, 40, 40, 57 и 40, 40, 40, 40, 23 нам не подходят, так как в них всего две попарные суммы. Значит, на доске написан набор 40, 40, 40, 57, 23. Таким образом, наибольшее число на доске — это 57.
Ответ: 57.