У сте­коль­щи­ка есть квад­рат­ное стек­ло. Сто­ро­на квад­ра­та равна 40 см. Нужно вы­ре­зать из этого стек­ла вось­ми­уголь­ник, у ко­то­ро­го все сто­ро­ны равны и все углы равны. Для этого нужно на­ме­тить линии и по этим ли­ни­ям от­ре­зать от квад­ра­та че­ты­ре оди­на­ко­вых пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ка по углам (см. рис.). Най­ди­те при­ближённо длину ка­те­та од­но­го та­ко­го тре­уголь­ни­ка в мил­ли­мет­рах, счи­тая, что равен 1,41.

Кон­струк­то­ры горки на дет­ской пло­щад­ке по­лу­ча­ли слиш­ком много жалоб на горку DCB. Её на­зы­ва­ли слиш­ком экс­тре­маль­ной для детей и не раз про­си­ли сде­лать по­след­нюю по­мень­ше, сде­лав на­клон не на­столь­ко кру­тым.

Из­вест­но так же, что горка вы­пол­не­на в виде пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка, его ги­по­те­ну­за равна 7 м. Более того, кон­струк­то­ры уже со­ста­ви­ли план по умень­ше­нию горки: со­глас­но их расчётам, при умень­ше­нии ги­по­те­ну­зы на 2 м, ее катет умень­шит­ся на 4 м. Най­ди­те ис­ход­ные и новые зна­че­ния длины и вы­со­ты горки. В ответ за­пи­ши­те новую вы­со­ту горки в мет­рах.

У кре­стья­ни­на было ку­ку­руз­ное пря­мо­уголь­ное поле. Его диа­го­наль равна 100 мет­ров. И всё у этого кре­стья­ни­на было хо­ро­шо, пока не на­сту­пил кри­зис и го­су­дар­ство не при­шло на­ци­о­на­ли­зи­ро­вать это поле. К его сча­стью, вла­сти по­тре­бо­ва­ли лишь часть: «Умень­ши одну сто­ро­ну сво­е­го пря­мо­уголь­но­го поля на 50 м, а дру­гую  — на 62 м. Остав­ша­я­ся часть твоя.» После подсчётов, у кре­стья­ни­на по­лу­чи­лось, что пе­ри­метр поля умень­шил­ся в 5 раз. Най­ди­те диа­го­наль но­во­го поля.

Лист жести имеет форму пря­мо­уголь­ни­ка, длина ко­то­ро­го на 10 см боль­ше ши­ри­ны. По углам этого листа вы­ре­за­ли квад­ра­ты со сто­ро­ной 5 см и сде­ла­ли ко­роб­ку. Най­ди­те раз­ме­ры листа жести в сан­ти­мет­рах, если объем ко­роб­ки равен 1000 см³. Объем ко­роб­ки равен про­из­ве­де­нию ее длины, ши­ри­ны и вы­со­ты.

Две башни, одна вы­со­той 40 футов, а дру­гая  — 30 футов, рас­по­ло­же­ны на рас­сто­я­нии 50 футов одна от дру­гой. К рас­по­ло­жен­но­му между ними ко­лод­цу сле­та­ют од­но­вре­мен­но с обеих башен две птич­ки, и летя с оди­на­ко­вой ско­ро­стью, од­но­вре­мен­но при­бы­ва­ют к ко­лод­цу. Найти рас­сто­я­ние от ко­лод­ца до башен в футах.

Цве­ток Ло­то­са воз­вы­ша­ет­ся над тихим озе­ром на пол­фу­та. Когда порыв ветра от­кло­нил цве­ток от преж­не­го места на 2 фута, цве­ток скрыл­ся под водой. Опре­де­ли­те глу­би­ну озера в футах.

Длина са­до­во­го участ­ка, име­ю­ще­го форму пря­мо­уголь­ни­ка, на 10 м боль­ше его ши­ри­ны. Его пло­щадь ре­ши­ли уве­ли­чить на 400 м². Для этого длину уве­ли­чи­ли на 10 м, а ши­ри­ну  — на 2 м. Най­ди­те пло­щадь но­во­го участ­ка в м².

Для школь­ной пло­щад­ки вы­де­лен пря­мо­уголь­ный уча­сток земли опре­де­лен­ной пло­ща­ди. Если его за­ме­нить квад­рат­ным участ­ком той же пло­ща­ди , то по­тре­бу­ет­ся мень­ше ма­те­ри­а­ла для его от­го­ра­жи­ва­ния. Для этого надо длину участ­ка умень­шить на 12 м, а ши­ри­ну уве­ли­чить на 10 м. Чему равна сто­ро­на квад­рат­но­го участ­ка в мет­рах?

Гряд­ка имеет форму пря­мо­уголь­ни­ка. Диа­го­наль гряд­ки равна 10 м, а пе­ри­метр гряд­ки равен 28 м. Най­ди­те длину и ши­ри­ну гряд­ки в мет­рах, при усло­вии, что ши­ри­на мень­ше длины.

Ди­зай­нер, чтобы до­пол­нить пре­крас­ный ри­су­нок в виде рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка на стене за­каз­чи­ка, решил про­ве­сти пря­мую. Автор ри­сун­ка, яв­ля­ясь боль­шим лю­би­те­лем гео­мет­рии, решил про­ве­сти её сле­ду­ю­щим об­ра­зом: она пройдёт через вер­ши­ну угла при ос­но­ва­нии и раз­де­лит ис­ход­ный тре­уголь­ник на два тре­уголь­ни­ка, каж­дый из ко­то­рых также яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ным. По­мо­ги­те ди­зай­не­ру найти углы ис­ход­но­го рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка.

Ху­дож­ник-су­пре­ма­тист, глядя на одно из оче­ред­ных своих тво­ре­ний, за­дал­ся во­про­сом: «А если из вер­ши­ны C пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC, ко­то­рый кра­су­ет­ся в цен­тре его про­из­ве­де­ния, про­ве­де­на вы­со­та CD, то чему равна его ги­по­те­ну­за AB, причём и »

Чтобы сде­лать вит­раж в виде мо­за­и­ки, сте­коль­щик режет рав­но­бед­рен­ную тра­пе­цию на два рав­но­бед­рен­ных тре­уголь­ни­ка. Для этого он со­еди­ня­ет две не­смеж­ные вер­ши­ны тра­пе­ции и ис­пол­ня­ет за­ду­ман­ное. Най­ди­те углы тра­пе­ции. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Раз­ра­бот­чик за­да­ний для ВПР, раз­ду­мы­вая над оче­ред­ной за­да­чей, за­хо­тел впи­сать в рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник цвета шартрёз алую окруж­ность. В этом тре­уголь­ни­ке ос­но­ва­ние равно 10 см, а бо­ко­вая сто­ро­на равна 13 см. По­мо­ги­те ему найти ра­ди­ус алой окруж­но­сти, впи­сан­ной в этот тре­уголь­ник.

Глав­ный де­ко­ра­тор за­хо­тел изоб­ра­зить свое новое тво­ре­ние в виде тре­уголь­ни­ков и впи­сан­ных в них окруж­но­стей. Чтобы со­здать на­сто­я­щий ше­девр, он за­хо­тел сде­лать все с ма­те­ма­ти­че­ской точ­но­стью. Для этого по­мо­ги­те ему найти от­рез­ки, на ко­то­рые точки ка­са­ния впи­сан­ной окруж­но­сти делят сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка, если сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка равны со­от­вет­ствен­но a, b и с, а по­лу­пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка p, чтобы де­ко­ра­тор по­ни­мал про­пор­ции изоб­ра­же­ния.

Чертёжник решил изоб­ра­зить гору на плос­ко­сти. Ока­за­лось, что гора имела форму пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка. Чертёжник очень любил гео­мет­рию в школе, по­это­му сразу узнав, что один катет равен 65, а дру­гой 13a, ему за­хо­те­лось что-ни­будь по­счи­тать. Также ему было из­вест­но, что вы­со­та BH равна 5a. По­мо­ги­те ему найти пло­щадь тре­уголь­ни­ка BHC.

В парке от­ды­ха со­зда­ли бас­сейн для боль­шо­го и глу­бо­ко­го пруда, за­ду­мав его в форме иде­аль­но­го круга, ра­ди­ус ко­то­ро­го равен 1 км. Залив фун­да­мент водой и со­здав все не­об­хо­ди­мые усло­вия для со­зда­ния мик­ро­фло­ры, от­вет­ствен­ные за про­ект за­те­я­ли раз­ме­стить на нем две ло­доч­ные стан­ции, чтобы все же­ла­ю­щие могли на­сла­дить­ся про­гул­ка­ми по воде. Их ре­ши­ли рас­по­ло­жить в диа­мет­раль­но про­ти­во­по­лож­ных точ­ках. Кроме того, пла­ни­ров­щи­ки по­ду­ма­ли, что было бы не­пло­хо со­здать про­ме­жу­точ­ную стан­цию, рас­сто­я­ние от ко­то­рой до одной из ло­доч­ных стан­ций в два раза боль­ше рас­сто­я­ния до дру­гой. Все рас­сто­я­ния рас­смат­ри­ва­ют­ся по воде. Най­ди­те при­бли­жен­но боль­шее рас­сто­я­ние от про­ме­жу­точ­ной стан­ции до ло­доч­ной стан­ции в мет­рах, счи­тая, что

В парке от­ды­ха со­зда­ли бас­сейн для боль­шо­го го­лу­бо­го пруда, за­ду­мав его в форме иде­аль­но­го круга, ра­ди­ус ко­то­ро­го равен 2 км. Залив фун­да­мент водой и со­здав все не­об­хо­ди­мые усло­вия для со­зда­ния мик­ро­фло­ры, от­вет­ствен­ные за про­ект за­те­я­ли раз­ме­стить на нем две ло­доч­ные стан­ции, чтобы все же­ла­ю­щие могли на­сла­дить­ся про­гул­ка­ми по воде. Их ре­ши­ли рас­по­ло­жить в диа­мет­раль­но про­ти­во­по­лож­ных точ­ках пруда. Кроме того, пла­ни­ров­щи­ки по­ду­ма­ли, что было бы не­пло­хо со­здать про­ме­жу­точ­ную стан­цию, рас­сто­я­ние от ко­то­рой до одной ло­доч­ной стан­ции в три раза боль­ше рас­сто­я­ния до дру­гой. Все рас­сто­я­ния рас­смат­ри­ва­ют­ся по воде. Най­ди­те при­бли­жен­но мень­шее рас­сто­я­ние между ло­доч­ны­ми стан­ци­я­ми в мет­рах, счи­тая, что

В Древ­нем Егип­те, как это и по­ло­же­но, стро­и­ли пи­ра­ми­ду-гроб­ни­цу для фа­ра­о­на Сред­не­го цар­ства. Если на­кло­нить одну из сто­рон пи­ра­ми­ды так, чтобы она стала пер­пен­ди­ку­ляр­на полу, то она будет иметь форму рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка со сто­ро­ной 150 мет­ров. В этой стене стро­и­те­лям тре­бу­ет­ся про­де­лать от­вер­стие для воз­мож­но­сти прой­ти внутрь и обу­стро­ить усы­паль­ни­цу. Из­вест­но, что по­лу­чен­ный про­ход имеет форму квад­ра­та и впи­сан в тре­уголь­ник, вы­со­та ко­то­ро­го делит сто­ро­ну квад­ра­та по­по­лам. Най­ди­те при­ближённую длину сто­ро­ны квад­ра­та, счи­тая, что

В Древ­нем Егип­те, как это и по­ло­же­но, стро­и­ли пи­ра­ми­ду-гроб­ни­цу для фа­ра­о­на Сред­не­го цар­ства. Если на­кло­нить одну из сто­рон пи­ра­ми­ды так, чтобы она стала пер­пен­ди­ку­ляр­на полу, то она будет иметь форму рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка со сто­ро­ной 125 мет­ров. В этой стене стро­и­те­лям тре­бу­ет­ся про­де­лать от­вер­стие для воз­мож­но­сти прой­ти внутрь и обу­стро­ить усы­паль­ни­цу. Из­вест­но, что по­лу­чен­ный про­ход имеет форму квад­ра­та и впи­сан в тре­уголь­ник, вы­со­та ко­то­ро­го делит сто­ро­ну квад­ра­та по­по­лам. Най­ди­те при­ближённую длину сто­ро­ны квад­ра­та, счи­тая, что

Кон­струк­то­ры горки на дет­ской пло­щад­ке по­лу­ча­ли слиш­ком много жалоб на горку DCB. Её на­зы­ва­ли слиш­ком экс­тре­маль­ной для детей и не раз про­си­ли сде­лать по­след­нюю по­мень­ше, сде­лав на­клон не на­столь­ко кру­тым.

Из­вест­но так же, что горка вы­пол­не­на в виде пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка, его ги­по­те­ну­за равна 8,5 м. Более того, кон­струк­ту­ры уже со­ста­ви­ли план по умень­ше­нию горки: со­глас­но их расчётам, при умень­ше­нии ги­по­те­ну­зы на 2,5 м, ее катет умень­шит­ся на 2,9 м. Най­ди­те ис­ход­ные и новые зна­че­ния длины и вы­со­ты горки. В ответ за­пи­ши­те новую вы­со­ту горки в мет­рах.

Лист жести имеет форму пря­мо­уголь­ни­ка, длина ко­то­ро­го на 20 см боль­ше ши­ри­ны. По углам этого листа вы­ре­за­ли квад­ра­ты со сто­ро­ной 7 см и сде­ла­ли ко­роб­ку. Най­ди­те длину и ши­ри­ну листа жести в сан­ти­мет­рах, если объем ко­роб­ки равен 1253 см³, счи­тая, что равен 5,57. Объем ко­роб­ки равен про­из­ве­де­нию ее длины, ши­ри­ны и вы­со­ты.

На ле­со­пил­ке из круг­лых бре­вен тре­бу­ет­ся из­го­то­вить пря­мо­уголь­ный брус наи­боль­шей пло­ща­ди по­пе­реч­но­го се­че­ния (см. рис.). Диа­метр окруж­но­сти брев­на равен 1. Най­ди­те сто­ро­ны по­пе­реч­но­го се­че­ния бруса, при­няв

На ле­со­пил­ке из круг­лых бре­вен тре­бу­ет­ся из­го­то­вить пря­мо­уголь­ный брус наи­боль­шей пло­ща­ди по­пе­реч­но­го се­че­ния (см. рис.). Диа­метр окруж­но­сти брев­на равен 7. Най­ди­те сто­ро­ны по­пе­реч­но­го се­че­ния бруса, при­няв

Из­вест­ны три сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка, рав­ные 5, 6 и 7 см. Най­ди­те при­ближённо наи­мень­шую вы­со­ту тре­уголь­ни­ка, счи­тая, что равен 2,45.

Из­вест­ны три сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка, рав­ные 7, 11 и 12 см. Най­ди­те при­ближённо наи­мень­шую вы­со­ту тре­уголь­ни­ка, счи­тая, что равен 3,16.

Ве­ло­си­пед едет по до­ро­ге. За обо­рот ко­ле­са ве­ло­си­пед про­ез­жа­ет 180 см. Най­ди­те диа­метр ко­ле­са в сан­ти­мет­рах. При расчёте округ­ли­те до 3,14. Ответ округ­ли­те до це­ло­го числа сан­ти­мет­ров.

Ве­ло­си­пед едет по до­ро­ге. За обо­рот ко­ле­са ве­ло­си­пед про­ез­жа­ет 157 см. Най­ди­те диа­метр ко­ле­са в сан­ти­мет­рах. При расчёте округ­ли­те до 3,14.