Ре­ше­ние. Пусть не­из­вест­ный катет равен x см. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра или из со­от­но­ше­ний сто­рон в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке на­хо­дим, что ги­по­те­ну­за от­ре­зан­но­го тре­уголь­ни­ка равна По­сколь­ку все сто­ро­ны вось­ми­уголь­ни­ка долж­ны быть равны, по­лу­ча­ем урав­не­ние от­ку­да от­ку­да

Под­став­ляя зна­че­ние 1,41 вме­сто по­лу­ча­ем:

Итак, длина ка­те­та равна при­бли­зи­тель­но 11,8 см, то есть 118 мм.

Ответ: 118.

При­ме­ча­ние.

Уча­щий­ся мог под­ста­вить при­ближённое зна­че­ние в вы­ра­же­ние В этом слу­чае и пра­виль­ным от­ве­том сле­ду­ет счи­тать любое вер­ное округ­ле­ние числа 117,302... мм.

Ре­ше­ние. Для ре­ше­ния дан­ной за­да­чи при­мем ка­те­ты за не­из­вест­ные. Пусть они равны a и b со­от­вет­ствен­но. Тогда со­глас­но усло­ви­ям за­да­чи со­ста­вим си­сте­му урав­не­ний и решим ее, вычтя из пер­во­го урав­не­ния вто­рое:

Таким об­ра­зом, пер­во­на­чаль­но горка была вы­со­той 5 м и дли­ной м. После умень­ше­ния горки, ее па­ра­мет­ры стали равны 1 м и 4,9 м со­от­вет­ствен­но.

Ответ: 1.

Ре­ше­ние. Пусть ис­ход­ные сто­ро­ны поля равны a и b. Из усло­вия за­да­чи можно со­ста­вить си­сте­му урав­не­ний:

Решим ее:

Най­дем новую диа­го­наль по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Таким об­ра­зом, новая диа­го­наль стала равна

Ответ:

Ре­ше­ние. При­мем сто­ро­ны пря­мо­уголь­ни­ка за a см и b см. После вы­ре­за­ния его сто­ро­ны стали равны см и см. Вы­со­та ко­роб­ки  — 5 см. Из усло­вия за­да­чи со­ста­вим си­сте­му урав­не­ний:

Решим её ме­то­дом под­ста­нов­ки:

Таким об­ра­зом, ши­ри­на и длина листа жести равны 20 и 30 сан­ти­мет­ров со­от­вет­ствен­но.

Ответ: 20 и 30.

Ре­ше­ние. Пусть точка M  — место рас­по­ло­же­ния ко­лод­ца. Тогда сумма от­рез­ков AM и MC равна 50 футов. При­мем эти от­рез­ки за a и b со­от­вет­ствен­но. Факт того, что птицы при­ле­те­ли од­но­вре­мен­но, летя с оди­на­ко­вой ско­ро­стью озна­ча­ет, что от­рез­ки BM и DM равны. Со­ста­вим си­сте­му урав­не­ний и решим её.

Таким об­ра­зом, рас­сто­я­ние равно 18 и 32 футов со­от­вет­ствен­но.

Ответ: 18 и 32.

Ре­ше­ние. При­мем глу­би­ну пруда за x, а длину ло­то­са за y. Из усло­вия а Так как со­ста­вим си­сте­му урав­не­ний и решим ее

Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем, что глу­би­на озера равна

Ответ:

Ре­ше­ние. При­мем длину и ши­ри­ну са­до­во­го участ­ка за a и b. Из усло­вия за­да­чи со­ста­вим си­сте­му урав­не­ний и решим её

От­ку­да по­лу­ча­ем, что до уве­ли­че­ния участ­ка его ши­ри­на и длина были равны 30 и 40 со­от­вет­ствен­но. Таким об­ра­зом, пло­щадь ста­ро­го участ­ка равна 1200 м², а но­во­го  — 1600 м².

Ответ: 1600.

Ре­ше­ние. При­мем длину и ши­ри­ну пря­мо­уголь­но­го участ­ка за a и b со­от­вет­ствен­но. Тогда сто­ро­ны квад­ра­та равны и Из усло­вий за­да­чи со­ста­вим си­сте­му урав­не­ний и решим её

Таким об­ра­зом, сто­ро­на квад­ра­та равна 60 м.

Ответ: 60.

Ре­ше­ние. При­мем длину и ши­ри­ну гряд­ки за a и b. Из усло­вия за­да­чи со­ста­вим си­сте­му урав­не­ний и реши её

Из квад­рат­но­го урав­не­ния по­лу­ча­ем, что или По усло­вию сле­до­ва­тель­но, длина равна 8 м, а ши­ри­на равна 6 м.

Ответ: 8 и 6.

Ре­ше­ние. Пусть тре­уголь­ник ABC, в ко­то­ром раз­де­лен от­рез­ком BD на два рав­но­бед­рен­ных тре­уголь­ни­ка ABD и BCD. Рас­смот­рим два слу­чая:

Рис. 1

Рис. 2

Пер­вый слу­чай: сто­ро­ны AD, BD и BC равны между собой.

Обо­зна­чим через x ве­ли­чи­ну угла A тре­уголь­ни­ка ABC. Для со­став­ле­ния урав­не­ния вос­поль­зу­ем­ся свой­ством углов рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка и тео­ре­мой о внеш­нем угле тре­уголь­ни­ка. Имеем:

По­сколь­ку то Вы­ра­жая через x сумму углов тре­уголь­ни­ка ABC, при­хо­дим к урав­не­нию от­ку­да по­лу­ча­ем, что

Вто­рой слу­чай: сто­ро­ны AD, BD и BC, CD по­пар­но равны между собой.

При­ве­дя ана­ло­гич­ные рас­суж­де­ния, что и в пер­вом пунк­те, по­лу­чим урав­не­ние от­ку­да

Легко про­ве­рить, что оба корня удо­вле­тво­ря­ют усло­вию за­да­чи.

Ре­ше­ние. В каж­дом из тре­уголь­ни­ков ABC, ACD и BCD из­вест­но лишь по одной сто­ро­не. По­это­му не­по­сред­ствен­но вы­чис­лить хотя бы еще один эле­мент нель­зя. При­ме­ним спо­соб со­став­ле­ния урав­не­ний.

Обо­зна­чим тогда Так как катет пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC есть сред­нее гео­мет­ри­че­ское его про­ек­ции на ги­по­те­ну­зу и ги­по­те­ну­зы, то по­лу­чим урав­не­ние

Сле­до­ва­тель­но,

Итак, В слу­чае на­доб­но­сти, можно на­хо­дить и дру­гие эле­мен­ты тре­уголь­ни­ка ABC, ис­поль­зуя AB в ка­че­стве вспо­мо­га­тель­но­го эле­мен­та.

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим два слу­чая.

Пер­вый слу­чай: если то тре­уголь­ник ABC  — рав­но­бед­рен­ный с ос­но­ва­ни­ем AC. Если то тре­уголь­ник ADC  — рав­но­бед­рен­ный с ос­но­ва­ни­ем CD. Так как углы при ос­но­ва­нии рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка равны, то Далее как внут­рен­ние на­крест ле­жа­щие при и се­ку­щей AC.

Пусть тогда Тогда Тогда как углы при ос­но­ва­нии рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции. Сле­до­ва­тель­но, По свой­ству рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции имеем Со­ста­вим урав­не­ние:

Зна­чит,

Вто­рой слу­чай: если то тре­уголь­ник ABC  — рав­но­бед­рен­ный с ос­но­ва­ни­ем BC. Тогда у него углы при ос­но­ва­нии равны: Но угол B  — тупой, а два тупых угла в тре­уголь­ни­ке быть не может. Сле­до­ва­тель­но, AB не может быть рав­ным AC. Тогда и CD не может быть рав­ным AC, так как по усло­вию.

Ответ: 72 и 108.

Ре­ше­ние. При­мем рас­сто­я­ние от вер­ши­ны B до цен­тра окруж­но­сти за x. За­ме­тим, что Тогда, ис­хо­дя из усло­вий за­да­чи, со­ста­вим си­сте­му урав­не­ний и решим её

Таким об­ра­зом, ра­ди­ус равен

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть окруж­ность, впи­сан­ная в тре­уголь­ник ABC, ка­са­ет­ся его сто­рон AB, BC и CA со­от­вет­ствен­но в точ­ках L, M и N. От­рез­ки ка­са­тель­ных к окруж­но­сти, про­ведённых из одной точки, равны: и Обо­зна­чив со­ста­вим си­сте­му урав­не­ний:

От­ку­да при­бав­ле­ни­ем и вы­чи­та­ни­ем к каж­до­му урав­не­нию члена со зна­ком минус, по­лу­чим окон­ча­тель­ный ответ: и где p  — по­лу­пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка.

Ответ: и

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка равен Тогда От­сю­да при вы­ра­же­нии од­но­го из от­рез­ков мы сразу по­лу­ча­ем тре­бу­е­мое вы­ра­же­ние. По­ка­жем для z:

Ре­ше­ние. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра имеем: Тогда

Так как не­по­ло­жи­тель­ные ре­ше­ния нам не под­хо­дят, раз­де­лим на a²:

Един­ствен­ное под­хо­дя­щее ре­ше­ние  — Таким об­ра­зом, а

Ответ: 4320.

Ре­ше­ние. За­да­ча сво­дит­ся к на­хож­де­нию боль­ше­го ка­те­та в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке, ги­по­те­ну­за ко­то­ро­го из­вест­на. Пусть не­из­вест­ный катет равен x км. Тогда вто­рой катет равен 2x. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра на­хо­дим катет

От­ку­да по­лу­ча­ем, что Под­став­ляя зна­че­ние 2,24 вме­сто по­лу­ча­ем:

Итак, длина ка­те­та равна при­бли­зи­тель­но 0,896 км, то есть 896 м. Тогда длина боль­ше­го ка­те­та равна 1792 м.

Ответ: 1792.

Ре­ше­ние. За­да­ча сво­дит­ся к на­хож­де­нию боль­ше­го ка­те­та в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке, ги­по­те­ну­за ко­то­ро­го из­вест­на. Пусть не­из­вест­ный катет равен x км. Тогда вто­рой катет равен 3x. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра на­хо­дим катет

От­ку­да по­лу­ча­ем, что Под­став­ляя зна­че­ние 3,16 вме­сто по­лу­ча­ем:

Итак, длина ка­те­та равна при­бли­зи­тель­но 1,264 км, то есть 1264 м.

Ответ: 1264.

Ре­ше­ние. Пусть вы­со­та тре­уголь­ни­ка имеет ос­но­ва­ние в точке H. Пусть точка M  — точка ка­са­ния сто­ро­ны квад­ра­та, па­рал­лель­ной вы­со­те CH, и сто­ро­ны AB. При­мем длину HM, рав­ную по­ло­ви­не сто­ро­ны квад­ра­та, за x. Тогда а от­ре­зок QH, рав­ный сто­ро­не квад­ра­та, равен Кроме того, от­ре­зок По­сколь­ку по­лу­ча­ем урав­не­ние

Под­ста­вим зна­че­ние и по­лу­чим ис­ко­мый x.

Таким об­ра­зом, ответ на во­прос за­да­чи  — м.

Ответ: 69.

Ре­ше­ние. Пусть вы­со­та тре­уголь­ни­ка имеет ос­но­ва­ние в точке H. Пусть точка M  — точка ка­са­ния сто­ро­ны квад­ра­та, па­рал­лель­ной вы­со­те CH, и сто­ро­ны AB. При­мем длину HM, рав­ную по­ло­ви­не сто­ро­ны квад­ра­та, за x. Тогда а от­ре­зок QH, рав­ный сто­ро­не квад­ра­та, равен Кроме того, от­ре­зок По­сколь­ку по­лу­ча­ем урав­не­ние

Под­ста­вим зна­че­ние и по­лу­чим ис­ко­мый x.

Таким об­ра­зом, ответ на во­прос за­да­чи  — м.

Ответ: 57,5.

Ре­ше­ние. Для ре­ше­ния дан­ной за­да­чи при­мем ка­те­ты за не­из­вест­ные. Пусть они равны a и b со­от­вет­ствен­но. Тогда со­глас­но усло­ви­ям за­да­чи со­ста­вим си­сте­му урав­не­ний и решим ее:

Таким об­ра­зом, пер­во­на­чаль­но горка была вы­со­той 7,7 м и дли­ной 3,6 м. После умень­ше­ния горки, ее па­ра­мет­ры стали равны 4,8 м и 3,6 м со­от­вет­ствен­но.

Ответ: 4,8.

Ре­ше­ние. При­мем сто­ро­ны пря­мо­уголь­ни­ка за a см и b см. После вы­ре­за­ния его сто­ро­ны стали равны см и см. Вы­со­та ко­роб­ки  — 7 см. Из усло­вия за­да­чи со­ста­вим си­сте­му урав­не­ний:

Решим её ме­то­дом под­ста­нов­ки:

Под­став­ляя зна­че­ние 5,57 вме­сто по­лу­ча­ем:

Таким об­ра­зом, ши­ри­на и длина листа жести равны 20,71 и 40,71 сан­ти­мет­ров со­от­вет­ствен­но.

Ответ: 20,71 и 40,71.

Ре­ше­ние. Диа­го­наль пря­мо­уголь­ни­ка лежит на­про­тив угла 90°, по­это­му она яв­ля­ет­ся диа­мет­ром окруж­но­сти. При­мем сто­ро­ну пря­мо­уголь­ни­ка за x, тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра вто­рая сто­ро­на пря­мо­уголь­ни­ка равна Пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка равна Это вы­ра­же­ние долж­но быть наи­боль­шим. Сле­до­ва­тель­но, наи­боль­шим долж­но яв­лять­ся под­ко­рен­ное вы­ра­же­ние. Пусть найдём наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции на ин­тер­ва­ле (0; 1). Она до­сти­га­ет сво­е­го наи­боль­ше­го зна­че­ния в точке Тогда От­сю­да на­хо­дим вто­рую сто­ро­ну: То есть по­пе­реч­ное се­че­ние пред­став­ля­ет собой квад­рат со сто­ро­ной Под­став­ляя зна­че­ние 1,41 вме­сто по­лу­ча­ем, что сто­ро­на равна

Ответ: 0, 705.

Ре­ше­ние. Диа­го­наль пря­мо­уголь­ни­ка лежит на­про­тив угла 90°, по­это­му она яв­ля­ет­ся диа­мет­ром окруж­но­сти. При­мем сто­ро­ну пря­мо­уголь­ни­ка за x, тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра вто­рая сто­ро­на пря­мо­уголь­ни­ка равна Пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка равна Это вы­ра­же­ние долж­но быть наи­боль­шим. Сле­до­ва­тель­но, наи­боль­шим долж­но яв­лять­ся под­ко­рен­ное вы­ра­же­ние. Пусть найдём наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции на ин­тер­ва­ле (0; 49). Она до­сти­га­ет сво­е­го наи­боль­ше­го зна­че­ния в точке Тогда От­сю­да на­хо­дим вто­рую сто­ро­ну: То есть по­пе­реч­ное се­че­ние пред­став­ля­ет собой квад­рат со сто­ро­ной Под­став­ляя зна­че­ние 1,41 вме­сто по­лу­ча­ем, что сто­ро­на равна

Ответ: 4, 935.

Ре­ше­ние. С по­мо­щью фор­му­лы Ге­ро­на по­счи­та­ем пло­щадь дан­но­го тре­уголь­ни­ка. По­лу­пе­ри­метр равен

Тогда пло­щадь равна

Далее най­дем вы­со­ту через пло­щадь и сто­ро­ну тре­уголь­ни­ка. Наи­мень­шая вы­со­та про­ве­де­на к наи­боль­шей сто­ро­не, по­это­му

Под­став­ляя зна­че­ние 2,45 вме­сто по­лу­ча­ем:

Ответ: 4,2.

Ре­ше­ние. С по­мо­щью фор­му­лы Ге­ро­на по­счи­та­ем пло­щадь дан­но­го тре­уголь­ни­ка. По­лу­пе­ри­метр равен

Тогда пло­щадь равна

Далее най­дем вы­со­ту через пло­щадь и сто­ро­ну тре­уголь­ни­ка. Наи­мень­шая вы­со­та про­ве­де­на к наи­боль­шей сто­ро­не, по­это­му

Под­став­ляя зна­че­ние 3,16 вме­сто по­лу­ча­ем:

Ответ: 6,32.

Ре­ше­ние. За пол­ный обо­рот ко­ле­со пе­ре­ме­стит­ся на где r  — ра­ди­ус ко­ле­са (в см). По усло­вию (см). Найдём диа­метр ко­ле­са: см.

Ответ: 57.

Ре­ше­ние. За пол­ный обо­рот ко­ле­со пе­ре­ме­стит­ся на где r  — ра­ди­ус ко­ле­са (в см). По усло­вию (см). Найдём диа­метр ко­ле­са: см.

Ответ: 50.