Диа­го­на­ли ромба пе­ре­се­ка­ют­ся под углом 90° и точ­кой пе­ре­се­че­ния де­лят­ся по­по­лам. Из ри­сун­ка видно, что диа­го­на­ли AC и BD равны 8 и 6 со­от­вет­ствен­но. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка, ка­те­та­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся по­ло­ви­ны диа­го­на­лей ромба, а ги­по­те­ну­зой  — сто­ро­на ромба, по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра найдём сто­ро­ну ромба: Так как все сто­ро­ны ромба равны, то пе­ри­метр равен:

Ответ: 20.

Про­ве­дем до­пол­ни­тель­ные по­стро­е­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Найдём длину диа­го­на­ли по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Из ри­сун­ка видно, что вто­рая диа­го­наль равна 9. Сле­до­ва­тель­но, длина мень­шей диа­го­на­ли равна 5.

Ответ: 5.

По­ка­жем, что диа­го­наль BD па­рал­ле­ло­грам­ма яв­ля­ет­ся его вы­со­той. От­рез­ки AB, AD и BD най­дем как ги­по­те­ну­зы пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков AKB, ALD и BMD (см. рис.) по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

По тео­ре­ме, об­рат­ной тео­ре­ме Пи­фа­го­ра, из ра­вен­ства сле­ду­ет, что тре­уголь­ник ADB  — пря­мо­уголь­ный с пря­мым углом D. Сле­до­ва­тель­но, BD  — вы­со­та па­рал­ле­ло­грам­ма, и не­об­хо­ди­мо найти от­но­ше­ние

Ответ: 2.

При­ме­ча­ние.

«Уви­деть» и по­ка­зать пер­пен­ди­ку­ляр­ность пря­мых AD и DB можно иначе.

Чи­та­тель, зна­ко­мый с три­го­но­мет­ри­ей, за­ме­тит, что углы ADL и NDB равны, по­сколь­ку их тан­ген­сы равны, а тогда

Чи­та­тель, вспом­нив­ший усло­вие пер­пен­ди­ку­ляр­но­сти пря­мых, сразу ска­жет, что

Чи­та­тель, зна­ко­мый с век­то­ра­ми, без труда про­ве­рит, что

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

Вы­де­лен­ные на ри­сун­ке синим цве­том пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки равны, а по­то­му и ги­по­те­ну­зы их равны. Сле­до­ва­тель­но, а по­то­му

Ответ: 2.

Из ри­сун­ка найдём вы­со­ту, про­ведённую из точки C к сто­ро­не AB, по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра по­лу­ча­ем:

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра найдём длину сто­ро­ны AB:

Сто­ро­на AB боль­ше вы­со­ты, про­ведённой из точки C к сто­ро­не AB, в

Ответ: 1,5.

До­стро­им угол до пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка с ка­те­та­ми 3 и 4. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра найдём длину ги­по­те­ну­зы:

Синус угла пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равен от­но­ше­нию про­ти­во­ле­жа­ще­го ка­те­та к ги­по­те­ну­зе, зна­чит, он равен:

Ответ: 0,6.