Ре­ше­ние. Вы­чис­лим:

Ответ: 4,5.

Ре­ше­ние. По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

Ответ: 36.

Ре­ше­ние. Пусть x, 2x  — ис­ко­мые числа. Так как их про­из­ве­де­ние равно 98, со­ста­вим урав­не­ние:

Таким об­ра­зом, ис­ко­мые числа  — 7 и 14.

Ответ: 714.

Ре­ше­ние. Из пер­во­го не­ра­вен­ства сле­ду­ет, что из вто­ро­го, что а из тре­тье­го, что x по­ло­жи­тель­но, зна­чит, x на­хо­дит­ся в про­ме­жут­ке

Ре­ше­ние. Гра­фик функ­ции   — па­ра­бо­ла. Опре­де­лим тип каж­до­го гра­фи­ка функ­ции.

1)  На пер­вом ри­сун­ке изоб­ра­же­на ли­ней­ная функ­ция.

2)  На вто­ром ри­сун­ке изоб­ра­же­на ло­га­риф­ми­че­ская функ­ция.

3)  На тре­тьем ри­сун­ке изоб­ра­же­на па­ра­бо­ла.

4)  На чет­вер­том ри­сун­ке изоб­ра­же­на ги­пер­бо­ла.

Ответ: 3.

Ре­ше­ние. Воз­ве­дем все числа в квад­рат:

Срав­ним квад­ра­ты чисел, по­лу­чим: Тогда для ис­ход­ных чисел спра­вед­ли­вы не­ра­вен­ства

Из этого сле­ду­ет, что точка, со­от­вет­ству­ю­щая лежит на оси между чис­ла­ми 11 и 12. Се­ре­ди­на этого от­рез­ка  — число  11,5. Чтобы срав­нить числа и  11,5, срав­ним их квад­ра­ты. Най­дем, что а тогда Сле­до­ва­тель­но, числу со­от­вет­ству­ет точка, ле­жа­щая левее се­ре­ди­ны от­рез­ка.

Ответ: см. рис.

При­ме­ча­ние.

Чтобы опре­де­лить, пра­вее или левее се­ре­ди­ны от­рез­ка лежит не­ко­то­рое число, не­об­хо­ди­мо срав­нить его с се­ре­ди­ной от­рез­ка. Вме­сто этого не­ко­то­рые уча­щи­е­ся рас­суж­да­ют так:

—  число 85 ближе к 81, чем к 100, по­это­му  ближе к 9, чем к 10;

—  число 2 ближе к 1,1, чем к 3, по­это­му  ближе к  чем к 

Этот под­ход не­ве­рен (см. рис.).

Срав­ни­вая квад­ра­ты двух чисел, мы можем за­клю­чить, какое из них боль­ше, но ни­че­го не знаем о том, на­сколь­ко близ­ки эти числа между собой. Число 1,1 дей­стви­тель­но ближе к числу 2, чем число 3. Но если срав­нить корни из этих чисел

то видно, что число  даль­ше от  чем число 

Ре­ше­ние. Упро­стим вы­ра­же­ние:

Под­ста­вим ис­ход­ные дан­ные и най­дем зна­че­ние вы­ра­же­ния:

Ответ: −0,8.

Ре­ше­ние. По­сколь­ку число яб­лонь от­но­сит­ся к числу вишен как доля яб­лонь в саду а доля вишен Тогда ве­ро­ят­ность того, что слу­чай­но вы­бран­ное де­ре­во в саду ока­жет­ся виш­ней, равна

Ответ: 0,32.

Ре­ше­ние. Сумма углов тре­уголь­ни­ка ACD равна 180°, по­это­му Так как ос­но­ва­ния тра­пе­ции па­рал­лель­ны, углы CAD и BCA равны как на­крес­тле­жа­щие. Так как тра­пе­ция рав­но­бед­рен­ная, сумма ее про­ти­во­по­лож­ных углов равна 180°, по­это­му

Ответ: 110.

Ре­ше­ние. Пусть дана тра­пе­ция ABCD, где AD = 18, BC = 12, AB = 6, а Опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр BH на сто­ро­ну AD. Най­дем синус угла. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке тан­генс опре­де­ля­ет­ся как от­но­ше­ние про­ти­во­ле­жа­ще­го ка­те­та к при­ле­жа­ще­му. Имеем:

Таким об­ра­зом, где x  — число.

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра ги­по­те­ну­за этого пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна:

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке синус опре­де­ля­ет­ся как от­но­ше­ние про­ти­во­ле­жа­ще­го ка­те­та к ги­по­те­ну­зе. Имеем:

Най­дем вы­со­ту BH:

Пло­щадь тра­пе­ции равна по­лу­сум­ме ос­но­ва­ний на вы­со­ту:

Ответ: 30.

Ре­ше­ние. Не­труд­но при­ду­мать обход, в ко­то­ром два­жды про­хо­дят­ся толь­ко два ребра. До­ка­жем, что это ми­ни­маль­ное ко­ли­че­ство.

При об­хо­де не­об­хо­ди­мо выйти из на­чаль­ной вер­ши­ны, войти во все осталь­ные вер­ши­ны и выйти из них, а в конце вер­нуть­ся в на­чаль­ную вер­ши­ну. Сле­до­ва­тель­но, каж­дая вер­ши­на будет прой­де­на чет­ное число раз. В вер­ши­нах схо­дят­ся по три ребра, по­это­му вхо­дов-вы­хо­дов долж­но быть не менее че­ты­рех. У тет­ра­эд­ра че­ты­ре вер­ши­ны, зна­чит, всего долж­но быть не менее 16  про­хо­дов вер­шин. Каж­дой паре выход-вход со­от­вет­ству­ет одно ребро, а по­то­му не­об­хо­ди­мо не менее вось­ми про­хо­дам по реб­рам. Тет­ра­эдр имеет шесть ребер. По­это­му прой­де­ны два­жды будут ми­ни­мум два ребра.

Ответ: 2.

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим пред­ло­жен­ные утвер­жде­ния.

1)  Все хорды окруж­но­сти равны  — не­вер­но. По­сколь­ку хорда  — от­ре­зок, со­еди­ня­ю­щий две точки окруж­но­сти, все хорды одной окруж­но­сти не равны.

2)  Диа­го­на­ли ромба точ­кой пе­ре­се­че­ния де­лят­ся по­по­лам  — верно.

3)  В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ги­по­те­ну­за равна сумме ка­те­тов  — не­вер­но. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке квад­рат ги­по­те­ну­зы равен сумме квад­ра­тов ка­те­тов.

4)  Вер­ти­каль­ные углы равны  — верно.

Не­вер­ные утвер­жде­ния  — 1 и 3.

Ответ: 13.

Ре­ше­ние. По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

Ответ:

Ре­ше­ние. 1)  Из диа­грам­мы видно, что наи­мень­шим ко­ли­че­ство по­се­ти­те­лей было 15 но­яб­ря.

2)  В ка­че­стве вер­но­го от­ве­та под­хо­дит любое число от 250 000 до 300 000.

Ре­ше­ние. Пусть весь путь со­став­ля­ет 2s км, а ско­рость мо­то­цик­ли­ста на пути из А в В υ км/ч, тогда первую по­ло­ви­ну об­рат­но­го пути мо­то­цик­лист ехал со ско­ро­стью (υ – 6) км/ч. По­лу­ча­ем урав­не­ние:

Усло­вию за­да­чи удо­вле­тво­ря­ет ко­рень υ  =  48.

Ответ: 48 км/ч.

Ре­ше­ние. Ве­ро­ят­ность по­лу­чить пазл с ма­ши­ной равна от­но­ше­нию числа паз­лов с ма­ши­ной к об­ще­му числу за­куп­лен­ных паз­лов, то есть

Ответ: 0,6.

Ре­ше­ние. Вы­де­лим пол­ный квад­рат и упро­стим по­лу­чив­ше­е­ся вы­ра­же­ние:

Ответ: 10.

Ре­ше­ние. Диа­метр АВ пер­пен­ди­ку­ля­рен ка­са­тель­ной АК, по­это­му и хорда CD пер­пен­ди­ку­ляр­на этой ка­са­тель­ной. Пусть хорда CD пе­ре­се­ка­ет ка­са­тель­ную АК в точке L. Рас­смот­рим тре­уголь­ник DLE:

Ра­ди­ус окруж­но­сти равен по­ло­ви­не диа­мет­ра:

Ответ: