Ре­ше­ние. Вы­чис­лим:

Ответ: 0,8.

Ре­ше­ние. По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

Ответ: − 1.

Ре­ше­ние. Пусть x, x + 9  — ис­ко­мые числа. Так как их про­из­ве­де­ние равно −18, со­ста­вим урав­не­ние:

Таким об­ра­зом, ис­ко­мые числа равны −6 и 3 или −3 и 6.

Ответ: −63 или −36.

Ре­ше­ние. Из пер­во­го не­ра­вен­ства сле­ду­ет, что из вто­ро­го, что а из тре­тье­го, что зна­чит, x на­хо­дит­ся в про­ме­жут­ке

Ре­ше­ние. Урав­не­ние за­да­ет па­ра­бо­лу, ветви ко­то­рой на­прав­ле­ны вниз.

Урав­не­ние за­да­ет па­ра­бо­лу, ветви ко­то­рой на­прав­ле­ны вверх.

Урав­не­ние за­да­ет пря­мую, про­хо­дя­щую через точку с ко­ор­ди­на­та­ми

Урав­не­ние за­да­ет пря­мую, про­хо­дя­щую через точку с ко­ор­ди­на­та­ми

Тем самым, ис­ко­мое со­от­вет­ствие: А  — 3, Б  — 2, В  — 1, Г  — 4.

Ответ: 3214.

Ре­ше­ние. Воз­ве­дем все числа в квад­рат:

Срав­ним квад­ра­ты чисел, по­лу­чим: Тогда для ис­ход­ных чисел спра­вед­ли­вы не­ра­вен­ства

Из этого сле­ду­ет, что точка, со­от­вет­ству­ю­щая лежит на оси между чис­ла­ми 8 и 9. Се­ре­ди­на этого от­рез­ка  — число  8,5. Чтобы срав­нить числа и  8,5, срав­ним их квад­ра­ты. Най­дем, что а тогда Сле­до­ва­тель­но, числу со­от­вет­ству­ет точка, ле­жа­щая пра­вее се­ре­ди­ны от­рез­ка.

Ответ: см. рис.

При­ме­ча­ние.

Чтобы опре­де­лить, пра­вее или левее се­ре­ди­ны от­рез­ка лежит не­ко­то­рое число, не­об­хо­ди­мо срав­нить его с се­ре­ди­ной от­рез­ка. Вме­сто этого не­ко­то­рые уча­щи­е­ся рас­суж­да­ют так:

—  число 85 ближе к 81, чем к 100, по­это­му  ближе к 9, чем к 10;

—  число 2 ближе к 1,1, чем к 3, по­это­му  ближе к  чем к 

Этот под­ход не­ве­рен (см. рис.).

Срав­ни­вая квад­ра­ты двух чисел, мы можем за­клю­чить, какое из них боль­ше, но ни­че­го не знаем о том, на­сколь­ко близ­ки эти числа между собой. Число 1,1 дей­стви­тель­но ближе к числу 2, чем число 3. Но если срав­нить корни из этих чисел

то видно, что число  даль­ше от  чем число 

Ре­ше­ние. Упро­стим вы­ра­же­ние:

Под­ста­вим ис­ход­ные дан­ные и най­дем зна­че­ние вы­ра­же­ния:

Ответ: 0,1.

Ре­ше­ние. По­сколь­ку всего за­пла­ни­ро­ва­но 50 вы­ступ­ле­ний: в пер­вый день  — 18 вы­ступ­ле­ний, а осталь­ные рас­пре­де­ле­ны по­ров­ну между вто­рым и тре­тьим днями, в по­след­ний день за­пла­ни­ро­ва­но Тогда ве­ро­ят­ность того, что спортс­мен Н. будет вы­сту­пать в по­след­ний день со­рев­но­ва­ний, равна

Ответ: 0,32.

Ре­ше­ние.

Вве­дем обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. По опре­де­ле­нию ко­си­ну­са по­лу­ча­ем:

Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: 1717.

При­ме­ча­ние.

Вы­со­та делит сто­ро­ну на два от­рез­ка, и в от­ве­те тре­бу­ет­ся ука­зать длины обоих от­рез­ков. Длина пер­во­го от­рез­ка 17, и длина вто­ро­го от­рез­ка 17, по­это­му ответ 1717.

Ре­ше­ние. Вы­со­та рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка равна Таким об­ра­зом, сто­ро­на рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка равна Пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния сто­рон на синус угла между ними. Имеем:

Ответ: 100.

----------

В от­кры­том банке ир­ра­ци­о­наль­ный ответ.

Ре­ше­ние. Ко­ли­че­ство путей до го­ро­да Х = ко­ли­че­ство путей до­брать­ся в любой из тех го­ро­дов, из ко­то­рых есть до­ро­га в Х.

При этом если путь дол­жен не про­хо­дить через какой-то город, нужно про­сто не учи­ты­вать этот город при под­сче­те сумм. А если город на­о­бо­рот обя­за­тель­но дол­жен ле­жать на пути, тогда для го­ро­дов, в ко­то­рые из нуж­но­го го­ро­да идут до­ро­ги, в сум­мах нужно брать толь­ко этот город.

С по­мо­щью этого на­блю­де­ния по­счи­та­ем по­сле­до­ва­тель­но ко­ли­че­ство путей до каж­до­го из го­ро­дов:

А = 1

Б = А = 1

Д = А = 1

Г = А + Д = 1 + 1 = 2

В = А + Б + Г = 1 + 1 + 2 = 4

Е = Б + В = 1 + 4 = 5

З = В + Г + Д = 4 + 2 + 1 = 7

Ж = В + Е + З = 4 + 5 + 7 = 16

И = Ж = 16 (E и З не учи­ты­ва­ем, по­сколь­ку путь дол­жен про­хо­дить через Ж)

К = И = 16

Л = И = 16

Таким об­ра­зом, путей, про­хо­дя­щих через город Ж, но не про­хо­дя­щих через город К: М = Л = 16.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Ко­ли­че­ство путей из го­ро­да А в город М, про­хо­дя­щих через город Ж, равно про­из­ве­де­нию ко­ли­че­ства путей из го­ро­да А в город Ж и ко­ли­че­ства путей из го­ро­да Ж в город М.

Най­дем ко­ли­че­ство путей из го­ро­да А в город Ж:

А = 1

Б = А = 1

Д = А = 1

Г = А + Д = 1 + 1 = 2

В = А + Б + Г = 1 + 1 + 2 = 4

Е = Б + В = 1 + 4 = 5

З = В + Г + Д = 4 + 2 + 1 = 7

Ж = В + Е + З = 4 + 5 + 7 = 16.

Ни один из этих путей не про­хо­дит через город К.

Из го­ро­да Ж в город М есть толь­ко один путь, не про­хо­дя­щий через город К: Ж—И—Л—М.

Тогда ко­ли­че­ство путей из го­ро­да А в город К=М, про­хо­дя­щих через город Ж, но не про­хо­дя­щих через город К, равно 16 · 1 = 16.

Ответ: 16.

Ре­ше­ние. Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний:

1)  «Каж­дая сто­ро­на тре­уголь­ни­ка мень­ше раз­но­сти двух дру­гих сто­рон.»  — не­вер­но, так как если имеем, что

2)  «В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке име­ет­ся не более двух рав­ных углов.»  — не­вер­но, в рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке углы при ос­но­ва­нии равны, но они также могут быть равны и углу на­про­тив ос­но­ва­ния.

3)  «Если сто­ро­на и угол од­но­го тре­уголь­ни­ка со­от­вет­ствен­но равны сто­ро­не и углу дру­го­го тре­уголь­ни­ка, то такие тре­уголь­ни­ки равны.»  — не­вер­но, ра­вен­ство опре­де­ля­ет­ся по трем эле­мен­там.

4)  «В тре­уголь­ни­ке ABC, для ко­то­ро­го AB = 3, BC = 4, AC = 5, угол C наи­мень­ший.»  — верно, в тре­уголь­ни­ке про­тив боль­ше­го угла лежит боль­шая сто­ро­на.

Ответ: 4.

Ре­ше­ние. По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

Ответ:

Ре­ше­ние. 1)  Из гра­фи­ка видно, что 15 июля в Бре­сте было 19 гра­ду­сов тепла.

2)  В пе­ри­од с 6 по 19 июля 1981 года тем­пе­ра­ту­ра воз­ду­ха была наи­мень­шей 16 июля.

Ре­ше­ние. Пусть соб­ствен­ная ско­рость лодки x км/ч (x > 5), тогда про­тив те­че­ния она шла со ско­ро­стью x − 5 км/ч, а по те­че­нию  — со ско­ро­стью x + 5.

Со­ста­вим таб­ли­цу по дан­ным за­да­чи.

	Ско­рость, км/ч	Время, ч	Рас­сто­я­ние, км
Про­тив те­че­ния			24
По те­че­нию			32

Так на весь путь катер за­тра­тил 4 часа, по­лу­ча­ем:

от­ку­да x₁  =  15, x₂  =  −1.

Усло­вию за­да­чи удо­вле­тво­ря­ет x₁  =  15.

Ответ: 15 км/ч.

Ре­ше­ние. Ве­ро­ят­ность со­бы­тия равна от­но­ше­нию ко­ли­че­ства бла­го­при­ят­ных слу­ча­ев к ко­ли­че­ству всех слу­ча­ев. Среди пяти детей одна де­воч­ка. По­это­му ве­ро­ят­ность равна 

Ответ: 0,2.

Ре­ше­ние. По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

Ответ: 2.

Ре­ше­ние. В тра­пе­ции ABCD бо­ко­вая сто­ро­на CD пер­пен­ди­ку­ляр­на ос­но­ва­ни­ям, тогда боль­шая бо­ко­вая сто­ро­на есть AB. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке BCD по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

Про­ведём вы­со­ту ВН тра­пе­ции ABCD, тогда В рав­но­бед­рен­ном пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке АВН ги­по­те­ну­за

Ответ: