Ре­ше­ние. Вы­чис­лим:

Ответ: 1,4.

Ре­ше­ние. По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

Ответ: − 11,4.

Ре­ше­ние. Пусть a, — ис­ко­мые мно­жи­те­ли. Так как их сумма равна 9, со­ста­вим урав­не­ние:

Таким об­ра­зом, най­ден­ные числа  — 4 и 5.

Ответ: 45.

Ре­ше­ние. Из пер­во­го не­ра­вен­ства сле­ду­ет, что из вто­ро­го, что а из тре­тье­го, что зна­чит, x на­хо­дит­ся в про­ме­жут­ке

Ответ: см. рис.

Ре­ше­ние. Абс­цис­са вер­ши­ны па­ра­бо­лы равна −1, по­это­му от­ку­да Па­ра­бо­ла пе­ре­се­ка­ет ось ор­ди­нат в точке с ор­ди­на­той 3, по­это­му Тем самым, урав­не­ние па­ра­бо­лы при­ни­ма­ет вид По­сколь­ку па­ра­бо­ла про­хо­дит через точку (−1; 2), имеем:

Таким об­ра­зом,

Вер­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 3.

Ответ: 3.

Ре­ше­ние. Воз­ве­дем все числа в квад­рат:

Срав­ним квад­ра­ты чисел, по­лу­чим: Тогда для ис­ход­ных чисел спра­вед­ли­вы не­ра­вен­ства

Из этого сле­ду­ет, что точка, со­от­вет­ству­ю­щая лежит на оси между чис­ла­ми 7 и 8. Се­ре­ди­на этого от­рез­ка  — число  8,5. Чтобы срав­нить числа и  8,5, срав­ним их квад­ра­ты. Най­дем, что а тогда Сле­до­ва­тель­но, числу со­от­вет­ству­ет точка, ле­жа­щая левее се­ре­ди­ны от­рез­ка.

Ответ: см. рис.

При­ме­ча­ние.

Чтобы опре­де­лить, пра­вее или левее се­ре­ди­ны от­рез­ка лежит не­ко­то­рое число, не­об­хо­ди­мо срав­нить его с се­ре­ди­ной от­рез­ка. Вме­сто этого не­ко­то­рые уча­щи­е­ся рас­суж­да­ют так:

—  число 85 ближе к 81, чем к 100, по­это­му  ближе к 9, чем к 10;

—  число 2 ближе к 1,1, чем к 3, по­это­му  ближе к  чем к 

Этот под­ход не­ве­рен (см. рис.).

Срав­ни­вая квад­ра­ты двух чисел, мы можем за­клю­чить, какое из них боль­ше, но ни­че­го не знаем о том, на­сколь­ко близ­ки эти числа между собой. Число 1,1 дей­стви­тель­но ближе к числу 2, чем число 3. Но если срав­нить корни из этих чисел

то видно, что число  даль­ше от  чем число 

Ре­ше­ние. Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой раз­но­сти квад­ра­тов:

Таким об­ра­зом, От­ме­тим, что опи­сан­ные пре­об­ра­зо­ва­ния воз­мож­ны, по­то­му что

Ответ: − 1.

Ре­ше­ние. Всего го­то­вых бу­ке­тов штук, а бу­ке­тов, в ко­то­рых при­сут­ству­ют ирисы, Ве­ро­ят­ность того, что в слу­чай­но вы­бран­ном го­то­вом бу­ке­те будут ирисы, равна

Ответ: 0,65.

Ре­ше­ние. Сумма од­но­сто­рон­них углов па­рал­ле­ло­грам­ма равна 180°. По­это­му ве­ли­чи­на боль­ше­го угла па­рал­ле­ло­грам­ма будет равна:

Ответ: 125°.

Ре­ше­ние. Из ри­сун­ка видно, что вы­со­та, про­ведённая из точки B к ос­но­ва­нию AD, яв­ля­ет­ся от­рез­ком BD  — диа­го­на­лью тра­пе­ции. По клет­кам по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра можем найти BC и BD:

Так как BD яв­ля­ет­ся вы­со­той па­рал­ле­ло­грам­ма, то сто­ро­на BC мень­ше вы­со­ты BD в

Ответ: 3.

Ре­ше­ние. В графе две не­чет­ных вер­ши­ны, они обо­зна­че­ны но­ме­ра­ми 1 и 7. Если ровно две вер­ши­ны графа не­чет­ные, то его можно об­ве­сти, не от­ры­вая ка­ран­да­ша от бу­ма­ги, начав в одной не­чет­ной вер­ши­не, а за­кон­чив в дру­гой. Сле­до­ва­тель­но, Аня на­ча­ла об­во­дить граф в вер­ши­не 1.

Ответ: 1.

Ре­ше­ние. Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1)  «В тре­уголь­ни­ке про­тив мень­ше­го угла лежит боль­шая сто­ро­на.»  — не­вер­но, в тре­уголь­ни­ке на­про­тив боль­ше­го угла лежит боль­шая сто­ро­на.

2)  «Если один угол тре­уголь­ни­ка боль­ше 120°, то два дру­гих его угла мень­ше 30°.»  — не­вер­но, сумма углов в тре­уголь­ни­ке равна 180°.

3)  «Если все сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка мень­ше 1, то и хотя бы одна вы­со­та его боль­ше 1.»  — не­вер­но, пер­пен­ди­ку­ляр, про­ведённый из точки к пря­мой, мень­ше любой на­клон­ной, про­ведённой из той же точки к этой пря­мой.

4)  «Сумма ост­рых углов пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка не пре­вос­хо­дит 90°.»  — верно, сумма ост­рых углов тре­уголь­ни­ка равна 90°.

Ответ: 4.

Ре­ше­ние. По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

Ответ:

Ре­ше­ние. 1)  Из гра­фи­ка видно, что наи­боль­шая цена одной тонны ни­ке­ля со­став­ля­ла 13 400 дол­ла­ров США.

2)  В пе­ри­од с 6 по 20 мая 2009 года цена ни­ке­ля была наи­боль­шей 12 мая.

Ре­ше­ние. Пусть соб­ствен­ная ско­рость лодки x км/ч (x > 4), тогда про­тив те­че­ния она шла со ско­ро­стью x − 4 км/ч, а по те­че­нию  — со ско­ро­стью x + 4 км/ч. Со­ста­вим таб­ли­цу по дан­ным за­да­чи.

	Ско­рость, км/ч	Время, ч	Рас­сто­я­ние, км
Про­тив те­че­ния			140
По те­че­нию			140

Так на об­рат­ный путь лодка за­тра­ти­ла на 2 часа мень­ше, по­лу­ча­ем:

Рас­крыв скоб­ки, по­лу­чим: при усло­вии от­ку­да за­клю­ча­ем, что км/ч.

Ответ: 24 км/ч.

Ре­ше­ние. Ко­ли­че­ство синих плат­ков равно 10 − 1  =  9. Ве­ро­ят­ность того, что ба­буш­ка купит синий пла­ток, равна

Ответ: 0,9.

Ре­ше­ние. По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

Ответ: 3.

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что как на­крест ле­жа­щие при па­рал­лель­ных пря­мых ED и СВ и се­ку­щей CD. Ана­ло­гич­но как на­крест ле­жа­щие при па­рал­лель­ных пря­мых CD и AВ и се­ку­щей CB. Кроме того, так как от­ре­зок АK  — ка­са­тель­ная, про­ведённая в точке А. Зна­чит, тре­уголь­ник АKВ  — пря­мо­уголь­ный с углом в ко­то­ром По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра от­ку­да

Ответ: 7,5.