Ре­ше­ние. Вы­чис­лим:

Ответ: −6.

Ре­ше­ние. По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

Ответ: − 1,50,6.

Ре­ше­ние. Пусть x  — мень­шее из двух чисел, тогда боль­шее из них равно x + 22. Так как про­из­ве­де­ние чисел равно −120, со­ста­вим урав­не­ние:

Таким об­ра­зом, ис­ко­мые числа равны −10 и 12 или −12 и 10.

Ответ: −1012 или −1210.

Ре­ше­ние. Из пер­во­го не­ра­вен­ства сле­ду­ет, что из вто­ро­го, что а из тре­тье­го, что зна­чит, x на­хо­дит­ся в про­ме­жут­ке

Ре­ше­ние. Изоб­ра­жен­ная на ри­сун­ке ги­пер­бо­ла рас­по­ло­же­на в пер­вой и тре­тьей чет­вер­тях, сле­до­ва­тель­но, дан­но­му гра­фи­ку могут со­от­вет­сво­вать функ­ции или При ор­ди­на­та функ­ции на гра­фи­ке равна 5, сле­до­ва­тель­но, это гра­фик функ­ции

Ответ: 3.

Ре­ше­ние. Воз­ве­дем все числа в квад­рат:

Срав­ним квад­ра­ты чисел, по­лу­чим: Тогда для ис­ход­ных чисел спра­вед­ли­вы не­ра­вен­ства

Из этого сле­ду­ет, что точка, со­от­вет­ству­ю­щая лежит на оси между чис­ла­ми 12 и 13. Се­ре­ди­на этого от­рез­ка  — число  12,5. Чтобы срав­нить числа и  12,5, срав­ним их квад­ра­ты. Най­дем, что а тогда Сле­до­ва­тель­но, числу со­от­вет­ству­ет точка, ле­жа­щая левее се­ре­ди­ны от­рез­ка.

Ответ: см. рис.

При­ме­ча­ние.

Чтобы опре­де­лить, пра­вее или левее се­ре­ди­ны от­рез­ка лежит не­ко­то­рое число, не­об­хо­ди­мо срав­нить его с се­ре­ди­ной от­рез­ка. Вме­сто этого не­ко­то­рые уча­щи­е­ся рас­суж­да­ют так:

—  число 85 ближе к 81, чем к 100, по­это­му  ближе к 9, чем к 10;

—  число 2 ближе к 1,1, чем к 3, по­это­му  ближе к  чем к 

Этот под­ход не­ве­рен (см. рис.).

Срав­ни­вая квад­ра­ты двух чисел, мы можем за­клю­чить, какое из них боль­ше, но ни­че­го не знаем о том, на­сколь­ко близ­ки эти числа между собой. Число 1,1 дей­стви­тель­но ближе к числу 2, чем число 3. Но если срав­нить корни из этих чисел

то видно, что число  даль­ше от  чем число 

Ре­ше­ние. Упро­стим вы­ра­же­ние:

Под­ста­вим ис­ход­ные дан­ные и най­дем зна­че­ние вы­ра­же­ния:

Ответ: 4.

Ре­ше­ние. По­сколь­ку всего за­пла­ни­ро­ва­но 50 вы­ступ­ле­ний: в пер­вый и вто­рой дни  — 13 вы­ступ­ле­ний, а осталь­ные рас­пре­де­ле­ны по­ров­ну между тре­тьим и четвёртым днями, в тре­тий день за­пла­ни­ро­ва­но вы­ступ­ле­ний. Тогда ве­ро­ят­ность того, что спортс­мен Б. будет вы­сту­пать в по­след­ний день со­рев­но­ва­ний равна

Ответ: 0,24.

Ре­ше­ние. По опре­де­ле­нию тан­ген­са:

Ответ: 16.

Ре­ше­ние. Так как в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке один из углов равен 45°, то такой тре­уголь­ник яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ным. Пло­щадь пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния ка­те­тов. Таким об­ра­зом:

Ответ: 50.

Ре­ше­ние. Ко­ли­че­ство путей до го­ро­да X  =  ко­ли­че­ство путей до­брать­ся в любой из тех го­ро­дов, из ко­то­рых есть до­ро­га в Х.

При этом если путь дол­жен не про­хо­дить через какой-то город, нужно про­сто не учи­ты­вать этот город при под­сче­те сумм. А если город на­о­бо­рот обя­за­тель­но дол­жен ле­жать на пути, тогда для го­ро­дов, в ко­то­рые из нуж­но­го го­ро­да идут до­ро­ги, в сум­мах нужно брать толь­ко этот город.

С по­мо­щью этого на­блю­де­ния по­счи­та­ем по­сле­до­ва­тель­но ко­ли­че­ство путей до каж­до­го из го­ро­дов:

А = 1;

Б = А = 1;

В = А + Б = 1 + 1 = 2;

Г = В = 2 = 2; (А не учи­ты­ва­ем, по­сколь­ку путь дол­жен про­хо­дить через В)

Д = В = 2 = 2; (Б не учи­ты­ва­ем, по­сколь­ку путь дол­жен про­хо­дить через В)

Е = В + Д = 2 + 2 = 4;

Ж = В + Г = 2 + 2 = 4;

К = Д + Е + Ж = 2 + 4 + 4 = 10.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Ко­ли­че­ство путей из го­ро­да А в город К, про­хо­дя­щих через город В, равно про­из­ве­де­нию ко­ли­че­ства путей из го­ро­да А в город В и ко­ли­че­ства путей из го­ро­да В в город К.

Най­дем ко­ли­че­ство путей из го­ро­да А в город В:

А = 1;

Б = А = 1;

В = А + Б = 1 + 1 = 2.

Най­дем ко­ли­че­ство путей из го­ро­да В в город К (при этом В - ис­ход­ный пункт):

В = 1;

Г = В = 1;

Д = В = 1;

Е = В + Д = 2;

Ж = В + Г = 2;

К = Д + Е + Ж = 5.

Тогда ко­ли­че­ство путей из го­ро­да А в город К, про­хо­дя­щих через город В, равно 2 · 5 = 10.

Ответ: 10.

Ре­ше­ние. Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1)  Не­вер­но, по­сколь­ку через две раз­лич­ные точки плос­ко­сти можно про­ве­сти одну, две и более окруж­но­стей.

2)  Верно, по при­зна­ку па­рал­лель­ных пря­мых.

3)  Верно, все углы пря­мо­уголь­ни­ка равны 90°.

Ответ: 23.

Ре­ше­ние. По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

Ответ:

Ре­ше­ние. 1)  Наи­боль­шая сред­не­ме­сяч­ная тем­пе­ра­ту­ра во вто­рой по­ло­ви­не года равна 16 °C.

2)  Сред­няя сред­не­ме­сяч­ная тем­пе­ра­ту­ра в лет­ние ме­ся­цы равна 16 °C.

Ре­ше­ние. Пусть 2S  — рас­сто­я­ние между A и В, x км/ч  — ско­рость пер­во­го ав­то­мо­би­ли­ста, Тогда км/ч  — ско­рость вто­ро­го ав­то­мо­би­ли­ста на вто­рой по­ло­ви­не пути.

Со­ста­вим таб­ли­цу по дан­ным за­да­чи:

	Ско­рость, км/ч	Время, ч	Рас­сто­я­ние, км
Пер­вый ав­то­мо­би­лист	x		2S
Вто­рой ав­то­мо­би­лист (пер­вая по­ло­ви­на)	30		S
Вто­рой ав­то­мо­би­лист (вто­рая по­ло­ви­на)			S

Время, за ко­то­рое оба ав­то­мо­би­ли­ста про­еха­ли весь путь от A до B оди­на­ко­во, сле­до­ва­тель­но, можно со­ста­вить урав­не­ние:

По усло­вию за­да­чи удо­вле­тво­ря­ет x  =  36.

Ответ: 36 км/ч.

Ре­ше­ние. Ве­ро­ят­ность того, что будет вы­бран пи­ро­жок с виш­ней равна от­но­ше­нию ко­ли­че­ства пи­рож­ков с виш­ней к об­ще­му ко­ли­че­ству пи­рож­ков:

Ответ:0,25

Ре­ше­ние. По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

Ответ: 2.

Ре­ше­ние. В тра­пе­ции ABCD бо­ко­вая сто­ро­на CD пер­пен­ди­ку­ляр­на ос­но­ва­ни­ям, тогда боль­шая бо­ко­вая сто­ро­на есть AB. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке BCD по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

Про­ведём вы­со­ту ВН тра­пе­ции ABCD, тогда В рав­но­бед­рен­ном пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке АВН ги­по­те­ну­за

Ответ: