Ре­ше­ние. Вы­чис­лим:

Ответ: 0,375.

Ре­ше­ние. По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

Ответ: 9,7.

Ре­ше­ние. Пусть ис­ко­мые числа суть x и Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: − 105.

Ре­ше­ние. Из пер­во­го не­ра­вен­ства сле­ду­ет, что из вто­ро­го, что а из тре­тье­го, что зна­чит, x на­хо­дит­ся в про­ме­жут­ке

Ответ: см. рис.

Ре­ше­ние. Гра­фик функ­ции   — па­ра­бо­ла. Ветви этой па­ра­бо­лы на­прав­ле­ны вверх, если и вниз, если При урав­не­ние имеет два корня, то есть гра­фик функ­ции имеет два пе­ре­се­че­ния с осью абс­цисс. Если то кор­ней нет, а гра­фик не пе­ре­се­ка­ет ось абс­цисс. Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем ответ: A  — 1, Б  — 2, В  — 4, Г  — 3.

Ответ: 1243.

При­ме­ча­ние.

Ре­ко­мен­ду­ем чи­та­те­ля­ми быть вни­ма­тель­ны­ми и не пу­тать дис­кри­ми­нант квад­рат­но­го урав­не­ния D со зна­че­ни­ем c в фор­му­ле квад­рат­но­го трех­чле­на.

Ре­ше­ние. Воз­ве­дем все числа в квад­рат:

Срав­ним квад­ра­ты чисел, по­лу­чим: Тогда для ис­ход­ных чисел спра­вед­ли­вы не­ра­вен­ства

Из этого сле­ду­ет, что точка, со­от­вет­ству­ю­щая лежит на оси между чис­ла­ми 12 и 13. Се­ре­ди­на этого от­рез­ка  — число  12,5. Чтобы срав­нить числа и  12,5, срав­ним их квад­ра­ты. Най­дем, что а тогда Сле­до­ва­тель­но, числу со­от­вет­ству­ет точка, ле­жа­щая пра­вее се­ре­ди­ны от­рез­ка.

Ответ: см. рис.

При­ме­ча­ние.

Чтобы опре­де­лить, пра­вее или левее се­ре­ди­ны от­рез­ка лежит не­ко­то­рое число, не­об­хо­ди­мо срав­нить его с се­ре­ди­ной от­рез­ка. Вме­сто этого не­ко­то­рые уча­щи­е­ся рас­суж­да­ют так:

—  число 85 ближе к 81, чем к 100, по­это­му  ближе к 9, чем к 10;

—  число 2 ближе к 1,1, чем к 3, по­это­му  ближе к  чем к 

Этот под­ход не­ве­рен (см. рис.).

Срав­ни­вая квад­ра­ты двух чисел, мы можем за­клю­чить, какое из них боль­ше, но ни­че­го не знаем о том, на­сколь­ко близ­ки эти числа между собой. Число 1,1 дей­стви­тель­но ближе к числу 2, чем число 3. Но если срав­нить корни из этих чисел

то видно, что число  даль­ше от  чем число 

Ре­ше­ние. Упро­стим вы­ра­же­ние:

Под­ста­вим ис­ход­ные дан­ные и най­дем зна­че­ние вы­ра­же­ния:

Ответ: 5.

Ре­ше­ние. Всего в сту­дии тан­ца­ми в стиле хип-хоп или на­род­ны­ми тан­цам за­ня­ты 15 + 13  =  28 уче­ни­ков. Ве­ро­ят­ность того, что слу­чай­но вы­бран­ный уче­ник за­ни­ма­ет­ся одним из этих на­прав­ле­ний со­став­ля­ет:

Ответ: 0,8.

Ре­ше­ние. По опре­де­ле­нию тан­ген­са:

Ответ: 12.

Ре­ше­ние. Пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка равна про­из­ве­де­нию его сто­рон. Най­дем сто­ро­ны пря­мо­уголь­ни­ка. Пусть x  — боль­шая сто­ро­на пря­мо­уголь­ни­ка, тогда дру­гая сто­ро­на равна Сле­до­ва­тель­но, пе­ри­метр пря­мо­уголь­ни­ка равен

от­ку­да По­это­му пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка равна

Ответ: 176.

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что сте­пе­ни всех вер­шин этого графа четны. Если бы он начал не в той же вер­ши­не, где за­кон­чил, то путь про­шел бы по не­чет­но­му ко­ли­че­ству ребер стар­то­вой вер­ши­ны (одно ребро вна­ча­ле и пары вхо­дя­щее–ис­хо­дя­щее ребро далее на марш­ру­те), то есть со­дер­жал бы не все ребра стар­то­вой вер­ши­ны. Зна­чит, он начал его там же, где за­кон­чил, то есть в вер­ши­не E.

Ответ: E.

Ре­ше­ние. 1)  Верно, если три раз­лич­ные точки не на­хо­дят­ся на одной пря­мой, через них можно про­ве­сти не более одной окруж­но­сти.

2)  Не­вер­но, один из дру­гих углов тре­уголь­ни­ка может быть пря­мым или тупым, тогда тре­уголь­ник будет пря­мо­уголь­ным или ту­по­уголь­ным со­от­вет­ствен­но.

3)  Верно, по­сколь­ку тра­пе­ция  — четырёхуголь­ник, у ко­то­ро­го две сто­ро­ны па­рал­лель­ны, а две дру­гие сто­ро­ны  — нет.

Ответ: 13.

Ре­ше­ние. Дроби с оди­на­ко­вы­ми чис­ли­те­ля­ми равны в двух слу­ча­ях: а)  зна­ме­на­те­ли этих дро­бей равны и при этом от­лич­ны от нуля; б)  чис­ли­те­ли дро­бей равны нулю, при этом все зна­ме­на­те­ли от­лич­ны от нуля. По­лу­ча­ем:

Боль­ший из най­ден­ных кор­ней равен 6.

Ответ: 6.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Ис­поль­зу­ем свой­ство про­пор­ции, рас­кро­ем скоб­ки, по­лу­чим квад­рат­ное урав­не­ние:

Ис­ко­мый боль­ший ко­рень равен 6.

При­ве­дем еще одно ре­ше­ние.

Ис­поль­зу­ем свой­ство про­пор­ции, раз­ло­жим на мно­жи­те­ли:

При умно­же­нии на за­ви­ся­щие от пе­ре­мен­ной зна­ме­на­те­ли могли по­явить­ся по­сто­рон­ние корни, по­это­му не­об­хо­ди­ма про­вер­ка най­ден­ных ре­ше­ний под­ста­нов­кой в ис­ход­ное урав­не­ние:

Сле­до­ва­тель­но, урав­не­ние имеет два корня, боль­ший из ко­то­рых равен 6.

Ре­ше­ние. 1)  Из гра­фи­ка видно, что наи­мень­шая цена за бар­рель нефти со­став­ля­ла 39 дол­ла­ров США.

2)  Раз­ни­ца между наи­боль­шей и наи­мень­шей сто­и­мо­стью нефти с 17 по 31 ав­гу­ста 2004 года равна 7 дол­ла­рам США.

Ре­ше­ние. Пусть соб­ствен­ная ско­рость лодки x км/ч (x > 5), тогда про­тив те­че­ния она шла со ско­ро­стью x − 5 км/ч, а по те­че­нию  — со ско­ро­стью x + 5.

Со­ста­вим таб­ли­цу по дан­ным за­да­чи.

	Ско­рость, км/ч	Время, ч	Рас­сто­я­ние, км
Про­тив те­че­ния			60
По те­че­нию			80

Так на весь путь катер за­тра­тил 10 часа, по­лу­ча­ем:

от­ку­да x₁  =  15, x₂  =  −1.

Усло­вию за­да­чи удо­вле­тво­ря­ет x₁  =  15.

Ответ: 15 км/ч.

Ре­ше­ние. Ве­ро­ят­ность ку­пить ис­прав­ную лам­поч­ку равна доле ис­прав­ных лам­по­чек в общем ко­ли­че­стве лам­по­чек:

Ре­ше­ние. По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

Ответ: 1.

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что как на­крест ле­жа­щие при па­рал­лель­ных пря­мых BC и AD и се­ку­щей AM. Также так как луч AM  — бис­сек­три­са. Зна­чит,

сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник ABM  — рав­но­бед­рен­ный, по­это­му Ана­ло­гич­но до­ка­зы­ва­ет­ся, что тре­уголь­ник MCD  — рав­но­бед­рен­ный. Зна­чит,

Пе­ри­метр па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD:

Ответ: 36.