Ре­ше­ние. Вы­чис­лим:

Ответ: 9,5.

Ре­ше­ние. По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

Ответ: 1.

Ре­ше­ние. Пусть x, 11x  — ис­ко­мые числа. Так как их сумма равна 216, со­ста­вим урав­не­ние:

Таким об­ра­зом, ис­ко­мые числа равны 18 и 18 · 11  =  198.

Ответ: 18198.

Ре­ше­ние. Из пер­во­го не­ра­вен­ства сле­ду­ет, что из вто­ро­го, что а из тре­тье­го, что x от­ри­ца­тель­но, зна­чит, x на­хо­дит­ся на луче

Ре­ше­ние. Про­ве­рим каж­дое утвер­жде­ние.

1)  На луче  боль­ше­му зна­че­нию ар­гу­мен­та со­от­вет­ству­ет боль­шее зна­че­ние функ­ции. Сле­до­ва­тель­но, функ­ция воз­рас­та­ет на этом луче; пер­вое утвер­жде­ние верно.

2)  Наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции равно 9, а не 8, как ска­за­но во вто­ром утвер­жде­нии. Вто­рое утвер­жде­ние не­вер­но.

3)  Зна­че­ния функ­ции в точ­ках –4 и 2 равны нулю, по­это­му Тре­тье утвер­жде­ние не­вер­но.

В от­ве­те сле­ду­ет ука­зать но­ме­ра не­вер­ных утвер­жде­ний, то есть 23.

Ответ: 23.

При­ме­ча­ние.

За­ме­тим, что если функ­ция не­пре­рыв­на на про­ме­жут­ке и воз­рас­та­ет (убы­ва­ет) на про­ме­жут­ке то она воз­рас­та­ет (убы­ва­ет) на про­ме­жут­ке Таким об­ра­зом, утвер­жде­ние, что дан­ная функ­ция воз­рас­та­ет на про­ме­жут­ке  яв­ля­ет­ся вер­ным, хотя точка –1 яв­ля­ет­ся точ­кой мак­си­му­ма функ­ции.

Ре­ше­ние. Воз­ве­дем все числа в квад­рат:

Срав­ним квад­ра­ты чисел, по­лу­чим: Тогда для ис­ход­ных чисел спра­вед­ли­вы не­ра­вен­ства

Из этого сле­ду­ет, что точка, со­от­вет­ству­ю­щая лежит на оси между чис­ла­ми 7 и 8. Се­ре­ди­на этого от­рез­ка  — число  7,5. Чтобы срав­нить числа и  7,5, срав­ним их квад­ра­ты. Най­дем, что а тогда Сле­до­ва­тель­но, числу со­от­вет­ству­ет точка, ле­жа­щая пра­вее се­ре­ди­ны от­рез­ка.

Ответ: см. рис.

При­ме­ча­ние.

Чтобы опре­де­лить, пра­вее или левее се­ре­ди­ны от­рез­ка лежит не­ко­то­рое число, не­об­хо­ди­мо срав­нить его с се­ре­ди­ной от­рез­ка. Вме­сто этого не­ко­то­рые уча­щи­е­ся рас­суж­да­ют так:

—  число 85 ближе к 81, чем к 100, по­это­му  ближе к 9, чем к 10;

—  число 2 ближе к 1,1, чем к 3, по­это­му  ближе к  чем к 

Этот под­ход не­ве­рен (см. рис.).

Срав­ни­вая квад­ра­ты двух чисел, мы можем за­клю­чить, какое из них боль­ше, но ни­че­го не знаем о том, на­сколь­ко близ­ки эти числа между собой. Число 1,1 дей­стви­тель­но ближе к числу 2, чем число 3. Но если срав­нить корни из этих чисел

то видно, что число  даль­ше от  чем число 

Ре­ше­ние. Упро­стим вы­ра­же­ние:

Под­ста­вим ис­ход­ные дан­ные и най­дем зна­че­ние вы­ра­же­ния:

Ответ: 3,2.

Ре­ше­ние. Обо­зна­чим «1» ту сто­ро­ну мо­не­ты, ко­то­рая от­ве­ча­ет за вы­иг­рыш жре­бия ко­ман­ды «Черёмушки», дру­гую сто­ро­ну мо­не­ты обо­зна­чим «0». Тогда бла­го­при­ят­ных ком­би­на­ций одна: 00, а всего ком­би­на­ций 4: 00, 01, 10, 11. Тем самым, ис­ко­мая ве­ро­ят­ность равна:

Ответ: 0,25.

Ре­ше­ние. Сред­няя линия от­се­ка­ет от тре­уголь­ни­ка по­доб­ный ему с ко­эф­фи­ци­ен­том по­до­бия  Пло­ща­ди по­доб­ных фигур от­но­сят­ся как квад­рат ко­эф­фи­ци­ен­та по­до­бия. Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: 1.

Ре­ше­ние. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка рав­ня­ет­ся по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния сто­рон на синус угла между ними: так как зна­чит, по­это­му

Ответ: 14.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния ос­но­ва­ния на вы­со­ту, сле­до­ва­тель­но, можно найти вы­со­ту тре­уголь­ни­ка ABC:

Тре­уголь­ник BCD имеет такую же вы­со­ту, что и тре­уголь­ник ABC, сле­до­ва­тель­но,

При­ве­дем еще одно ре­ше­ние.

Тре­уголь­ни­ки ABC и BCD имеют общую вер­ши­ну B, а их ос­но­ва­ния лежат на одной пря­мой, сле­до­ва­тель­но, от­но­ше­ние их пло­ща­дей равно от­но­ше­нию их ос­но­ва­ний:

Ре­ше­ние. Ко­ли­че­ство путей до го­ро­да Х  =  ко­ли­че­ство путей до­брать­ся в любой из тех го­ро­дов, из ко­то­рых есть до­ро­га в Х.

При этом если путь дол­жен не про­хо­дить через какой-то город, нужно про­сто не учи­ты­вать этот город при под­сче­те сумм. А если город на­о­бо­рот обя­за­тель­но дол­жен ле­жать на пути, тогда для го­ро­дов, в ко­то­рые из нуж­но­го го­ро­да идут до­ро­ги, в сум­мах нужно брать толь­ко этот город.

С по­мо­щью этого на­блю­де­ния по­счи­та­ем по­сле­до­ва­тель­но ко­ли­че­ство путей до каж­до­го из го­ро­дов:

А = 1

Б = А = 1

Д = А = 1

Г = А + Д = 1 + 1 = 2

В = А + Б + Г = 4

Е = Б = 1

З = Д = 1

Ж = Б + В + Г+ Д + Е + З = 1 + 4 + 2 + 1 + 1 + 1 = 10

И = Ж = 10 (путь в И через З и Е не учи­ты­ва­ем, т. к. надо прой­ти через Ж).

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Ко­ли­че­ство путей из го­ро­да А в город И, про­хо­дя­щих через город Ж, равно про­из­ве­де­нию ко­ли­че­ства путей из го­ро­да А в город Ж и ко­ли­че­ства путей из го­ро­да Ж в город И.

Най­дем ко­ли­че­ство путей из го­ро­да А в город Ж:

А = 1

Б = А = 1

Д = А = 1

Г = А + Д = 1 + 1 = 2

В = А + Б + Г = 4

Е = Б = 1

З = Д = 1

Ж = Б + В + Г+ Д + Е + З = 1 + 4 + 2 + 1 + 1 + 1 = 10.

Из го­ро­да Ж в город И есть толь­ко один путь.

Тогда ко­ли­че­ство путей из го­ро­да А в город И, про­хо­дя­щих через город Ж, равно 10 · 1 = 10.

Ответ: 10.

Ре­ше­ние. 1)  Да, в любой тре­уголь­ник можно впи­сать окруж­ность, при­том толь­ко одну.

2)  Нет, если при пе­ре­се­че­нии двух пря­мых тре­тьей пря­мой од­но­сто­рон­ние углы со­став­ля­ют в сумме 180°, то эти две пря­мые па­рал­лель­ны.

3)  Нет, в рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке толь­ко бис­сек­три­са, про­ведённая к ос­но­ва­нию, яв­ля­ет­ся ме­ди­а­ной и вы­со­той.

Зна­чит, не­вер­ны вто­рое и тре­тье утвер­жде­ния.

Ответ: 23.

Ре­ше­ние. Решим си­сте­му ме­то­дом под­ста­нов­ки:

Ис­ко­мая сумма равна 5.

Ответ: 5.

Ре­ше­ние. 1)  Из диа­грам­мы видно, что наи­мень­шая сред­не­ме­сяч­ная тем­пе­ра­ту­ра со­став­ля­ет −14 °C.

2)  Сред­не­ме­сяч­ная тем­пе­ра­ту­ра в но­яб­ре была ниже, чем в сен­тяб­ре на 10 °C.

Ре­ше­ние. Пусть x км/ч  — ско­рость вто­ро­го ве­ло­си­пе­ди­ста,

Со­ста­вим таб­ли­цу по дан­ным за­да­чи:

	Ско­рость, км/ч	Время, ч	Рас­сто­я­ние, км
Пер­вый ве­ло­си­пе­дист			76
Вто­рой ве­ло­си­пе­дист	x		76

Так как пер­вый ве­ло­си­пе­дист про­ез­жа­ет рас­сто­я­ние на 50 минут быст­рее, со­ста­вим урав­не­ние:

Ответ: 19 км/ч.

Ре­ше­ние. Всего спортс­ме­нов 11 + 6 + 3 = 20 че­ло­век. По­это­му ве­ро­ят­ность того, что пер­вым будет стар­то­вать спортс­мен из Рос­сии, равна

Ответ: 0,55.

Ре­ше­ние. Вы­пол­ним дей­ствия:

Ответ: 6.

Ре­ше­ние. Луч AM  — бис­сек­три­са угла BAD, по­это­му Сле­до­ва­тель­но, в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке AMD и Углы ADM и CMD равны как на­крест ле­жа­щие при па­рал­лель­ных пря­мых AD и BC и се­ку­щей MD, по­лу­ча­ем

зна­чит, тре­уголь­ник MCD  — рав­но­сто­рон­ний, тогда а Пе­ри­метр па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD:

Ответ: 36.