До­ка­жем, что среди на­пи­сан­ных чисел есть оди­на­ко­вые. Дей­стви­тель­но, если все на­пи­сан­ные числа раз­ные, то раз­лич­ных по­пар­ных сумм долж­но быть не менее четырёх, на­при­мер, суммы од­но­го числа с че­тырь­мя осталь­ны­ми. Зна­чит, среди по­пар­ных сумм есть суммы двух оди­на­ко­вых на­ту­раль­ных чисел. Такая сумма долж­на быть чётной, в нашем спис­ке это число 72. От­сю­да сле­ду­ет, что среди на­пи­сан­ных есть число 36 и оно на­пи­са­но не мень­ше двух раз.

Оди­на­ко­вых чисел, от­лич­ных от 36, быть не может, иначе среди по­пар­ных сумм было бы ещё одно чётное число. Обо­зна­чим одно из трёх остав­ших­ся чисел бук­вой х, тогда среди по­пар­ных сумм есть число 36 + x, зна­чит, х равно либо 47 − 36  =  11, либо 97 − 36  =  61.

На­бо­ры 36, 36, 36, 36, 11 и 36, 36, 36, 36, 61 нам не под­хо­дят, так как в них всего две раз­лич­ные по­пар­ные суммы. Зна­чит, был на­пи­сан набор 36, 36, 36, 11, 61. Таким об­ра­зом, наи­боль­шее число  — это 61.

Ответ: 61.

До­ка­жем, что среди на­пи­сан­ных чисел есть оди­на­ко­вые. Дей­стви­тель­но, если все на­пи­сан­ные числа раз­ные, то раз­лич­ных по­пар­ных сумм долж­но быть не менее четырёх, на­при­мер, суммы од­но­го числа с че­тырь­мя осталь­ны­ми. Зна­чит, среди по­пар­ных сумм есть суммы двух оди­на­ко­вых на­ту­раль­ных чисел. Такая сумма долж­на быть чётной, в нашем спис­ке это число 80. От­сю­да сле­ду­ет, что среди на­пи­сан­ных есть число 40 и оно на­пи­са­но не мень­ше двух раз.

Оди­на­ко­вых чисел, от­лич­ных от 40, быть не может, иначе среди по­пар­ных сумм было бы ещё одно чётное число. Обо­зна­чим одно из трёх остав­ших­ся чисел бук­вой х, тогда среди по­пар­ных сумм есть число зна­чит, х равно либо либо

На­бо­ры 40, 40, 40, 40, 55 и 40, 40, 40, 40, 25 нам не под­хо­дят, так как в них всего две раз­лич­ные по­пар­ные суммы. Зна­чит, был на­пи­сан набор 40, 40, 40, 25, 55. Таким об­ра­зом, наи­боль­шее число  — это 55.

Ответ: 55.

До­ка­жем, что среди на­пи­сан­ных чисел есть оди­на­ко­вые. Дей­стви­тель­но, если все на­пи­сан­ные числа раз­ные, то раз­лич­ных по­пар­ных сумм долж­но быть не менее четырёх, на­при­мер, суммы од­но­го числа с че­тырь­мя осталь­ны­ми. Зна­чит, среди

по­пар­ных сумм есть суммы двух оди­на­ко­вых на­ту­раль­ных чисел. Такая сумма долж­на быть чётной, в нашем спис­ке это число 70. От­сю­да сле­ду­ет, что среди на­пи­сан­ных есть число 35 и оно на­пи­са­но не мень­ше двух раз.

Оди­на­ко­вых чисел, от­лич­ных от 35, быть не может, иначе среди по­пар­ных сумм было бы ещё одно чётное число. Обо­зна­чим одно из трёх остав­ших­ся чисел бук­вой х, тогда среди по­пар­ных сумм есть число зна­чит, х равно либо либо

На­бо­ры 35, 35, 35, 35, 48 и 35, 35, 35, 35, 22 нам не под­хо­дят, так как в них всего две раз­лич­ные по­пар­ные суммы. Зна­чит, был на­пи­сан набор 35, 35, 35, 22, 48. Таким об­ра­зом, наи­боль­шее число  — это 48.

Ответ: 48.

До­ка­жем, что среди на­пи­сан­ных чисел есть оди­на­ко­вые. Дей­стви­тель­но, если все на­пи­сан­ные числа раз­ные, то раз­лич­ных по­пар­ных сумм долж­но быть не менее четырёх, на­при­мер, суммы од­но­го числа с че­тырь­мя осталь­ны­ми. Зна­чит, среди по­пар­ных сумм есть суммы двух оди­на­ко­вых на­ту­раль­ных чисел. Такая сумма долж­на быть чётной, в нашем спис­ке это число 92. От­сю­да сле­ду­ет, что среди на­пи­сан­ных есть число 46 и оно на­пи­са­но не мень­ше двух раз.

Оди­на­ко­вых чисел, от­лич­ных от 46, быть не может, иначе среди по­пар­ных сумм было бы ещё одно чётное число.

Обо­зна­чим одно из трёх остав­ших­ся чисел бук­вой х, тогда среди по­пар­ных сумм есть число зна­чит, х равно либо либо

На­бо­ры 46, 46, 46, 46, 41 и 46, 46, 46, 46, 51 нам не под­хо­дят, так как в них всего две раз­лич­ные по­пар­ные суммы. Зна­чит, был на­пи­сан набор 46, 46, 46, 41, 51.

Таким об­ра­зом, наи­боль­шее число  — это 51.

Ответ: 51.

До­ка­жем, что среди на­пи­сан­ных чисел есть оди­на­ко­вые. Дей­стви­тель­но, если все на­пи­сан­ные числа раз­ные, то раз­лич­ных по­пар­ных сумм долж­но быть не менее четырёх, на­при­мер, суммы од­но­го числа с че­тырь­мя осталь­ны­ми. Зна­чит, сред по­пар­ных сумм есть суммы двух оди­на­ко­вых на­ту­раль­ных чисел. Такая сумма долж­на быть чётной, в нашем спис­ке это число 88. От­сю­да сле­ду­ет, что среди на­пи­сан­ных есть число 44 и оно на­пи­са­но не мень­ше двух раз.

Оди­на­ко­вых чисел, от­лич­ных от 44, быть не может, иначе среди по­пар­ных сумм было бы ещё одно чётное число.

Обо­зна­чим одно из трёх остав­ших­ся чисел бук­вой х, тогда среди по­пар­ных сумм есть число зна­чит, х равно либо либо

На­бо­ры 44, 44, 44, 44, 55 и 44, 44, 44, 44, 33 нам не под­хо­дят, так как в них всего две раз­лич­ные по­пар­ные суммы. Зна­чит, был на­пи­сан набор 44, 44, 44, 33, 55.

Таким об­ра­зом, наи­боль­шее число  — это 55.

Ответ: 55.

До­ка­жем, что среди на­пи­сан­ных чисел есть оди­на­ко­вые. Дей­стви­тель­но, если все на­пи­сан­ные числа раз­ные, то раз­лич­ных по­пар­ных сумм долж­но быть не менее четырёх, на­при­мер, суммы од­но­го числа с че­тырь­мя осталь­ны­ми. Зна­чит, среди

по­пар­ных сумм есть суммы двух оди­на­ко­вых на­ту­раль­ных чисел. Такая сумма долж­на быть чётной, в нашем спис­ке это число 62. От­сю­да сле­ду­ет, что среди на­пи­сан­ных есть число 31 и оно на­пи­са­но не мень­ше двух раз.

Оди­на­ко­вых чисел, от­лич­ных от 31, быть не может, иначе среди по­пар­ных сумм было бы ещё одно чётное число.

Обо­зна­чим одно из трёх остав­ших­ся чисел бук­вой х, тогда среди по­пар­ных сумм есть число 31 + x, зна­чит, x равно либо либо

На­бо­ры 31, 31, 31, 31, 48 и 31, 31, 31, 31, 14 нам не под­хо­дят, так как в них всего две раз­лич­ные по­пар­ные суммы. Зна­чит, был на­пи­сан набор 31, 31, 31, 14, 48. Таким об­ра­зом, наи­боль­шее число  — это 48.

Ответ: 48.

За­ме­тим, что так как луч AM  — бис­сек­три­са угла BAD. Сле­до­ва­тель­но, в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке AMD и Углы ADM и CMD равны как на­крест ле­жа­щие при па­рал­лель­ных пря­мых AD и BC и се­ку­щей MD, по­лу­ча­ем

зна­чит, тре­уголь­ник MCD  — рав­но­сто­рон­ний, тогда а Пе­ри­метр па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD:

Ответ: 48.