Ре­ше­ние. Вы­чис­лим:

Ответ: 1,3.

Ре­ше­ние. По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть числа a и (–30 – a)  — ис­ко­мые. Тогда

Итак, ис­ко­мые числа  — это –10 и –20.

Ответ: –10, –20.

Ре­ше­ние. Из пер­во­го не­ра­вен­ства сле­ду­ет, что из вто­ро­го, что а из тре­тье­го, что зна­чит, x на­хо­дит­ся в про­ме­жут­ке

Ре­ше­ние. 1)  Урав­не­ние за­да­ет верх­нюю ветвь па­ра­бо­лы, на­прав­лен­ной впра­во. Гра­фик изоб­ра­жен на ри­сун­ке Г.

2)  Урав­не­ние за­да­ет ги­пер­бо­лу, ветви ко­то­рой лежат во вто­рой и чет­вер­той чет­вер­тях. Гра­фик изоб­ра­жен на ри­сун­ке В.

3)  Урав­не­ние за­да­ет па­ра­бо­лу с вер­ши­ной в на­ча­ле ко­ор­ди­нат. Гра­фик изоб­ра­жен на ри­сун­ке Б.

4)  Урав­не­ние за­да­ет пря­мую с от­ри­ца­тель­ным уг­ло­вым ко­эф­фи­ци­ен­том. Гра­фик изоб­ра­жен на ри­сун­ке А.

Ответ: 4321.

Ре­ше­ние. Воз­ве­дем числа в квад­рат:

Срав­ним квад­ра­ты чисел, по­лу­чим: Тогда для ис­ход­ных чисел спра­вед­ли­вы не­ра­вен­ства

Из этого сле­ду­ет, что точка, со­от­вет­ству­ю­щая  лежит на оси между чис­ла­ми 13 и 14. Се­ре­ди­на этого от­рез­ка  — число  13,5. Чтобы срав­нить числа  и  13,5, срав­ним их квад­ра­ты. Най­дем, что а тогда Сле­до­ва­тель­но, числу  со­от­вет­ству­ет точка, ле­жа­щая пра­вее се­ре­ди­ны от­рез­ка.

Ответ: см. рис.

При­ме­ча­ние.

Чтобы опре­де­лить, пра­вее или левее се­ре­ди­ны от­рез­ка лежит не­ко­то­рое число, не­об­хо­ди­мо срав­нить его с се­ре­ди­ной от­рез­ка. Вме­сто этого не­ко­то­рые уча­щи­е­ся рас­суж­да­ют так:

—  число 85 ближе к 81, чем к 100, по­это­му  ближе к 9, чем к 10;

—  число 2 ближе к 1,1, чем к 3, по­это­му  ближе к  чем к 

Этот под­ход не­ве­рен (см. рис.).

Срав­ни­вая квад­ра­ты двух чисел, мы можем за­клю­чить, какое из них боль­ше, но ни­че­го не знаем о том, на­сколь­ко близ­ки эти числа между собой. Число 1,1 дей­стви­тель­но ближе к числу 2, чем число 3. Но если срав­нить корни из этих чисел

то видно, что число  даль­ше от  чем число 

Ре­ше­ние. Упро­стим:

При по­лу­ча­ем

Ответ: 4,2.

Ре­ше­ние. Най­дем ко­ли­че­ство ис­прав­ных горш­ков: Таким об­ра­зом, ве­ро­ят­ность того, что слу­чай­но вы­бран­ный после об­жи­га гор­шок не имеет де­фек­та, равна

Ответ: 0,97.

Ре­ше­ние. Из усло­вия по­лу­ча­ем, что от­ку­да

Ответ: 12.

Ре­ше­ние. Ме­ди­а­на, про­ве­ден­ная из вер­ши­ны B, будет де­лить ос­но­ва­ние AC по­по­лам. По­стро­им ме­ди­а­ну BK. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра найдём длину ме­ди­а­ны:

Ответ: 13.

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что сте­пе­ни всех вер­шин этого графа четны. Если бы он начал не в той же вер­ши­не, где за­кон­чил, то путь про­шел бы по не­чет­но­му ко­ли­че­ству ребер стар­то­вой вер­ши­ны (одно ребро вна­ча­ле и пары вхо­дя­щее-ис­хо­дя­щее ребро далее на марш­ру­те), то есть со­дер­жал бы не все ребра стар­то­вой вер­ши­ны. Зна­чит, он начал его там же, где за­кон­чил, то есть в вер­ши­не C.

Ответ: С.

Ре­ше­ние. 1)  Не­вер­но. Таким свой­ством об­ла­да­ет толь­ко бис­сек­три­са рав­но­бед­рен­но­го или рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка.

2)  Не­вер­но. Гра­дус­ные меры смеж­ных углов в сумме дают 180°.

3)  Верно.

Ответ: 12.

Ре­ше­ние. Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой раз­но­сти квад­ра­тов:

Ответ:

Ре­ше­ние. 1)  Из диа­грам­мы видно, что в рай­о­не хреб­та Сунта Хаята на­хо­дят­ся 240 лед­ни­ков, а в горах Быр­ран­га и на Се­вер­ной Земле  — мень­ше.

2)  Из диа­грам­мы по­лу­ча­ем, что на Новой Земле 720 лед­ни­ков, а на хреб­те Сунта Хаята  — 240. Зна­чит, на Новой Земле лед­ни­ков на 720 – 240  =  480 боль­ше.

Ответ: 1)  горы Быр­ран­га, Се­вер­ная Земля; 2)  на 480.

Ре­ше­ние. Пусть ско­рость вто­ро­го ве­ло­си­пе­ди­ста равна v км/ч, тогда ско­рость пер­во­го ве­ло­си­пе­ди­ста равна (v + 15) км/ч. По­лу­ча­ем урав­не­ние:

Усло­вию за­да­чи удо­вле­тво­ря­ет ко­рень v  =  10.

Ответ: 10 км/ч.

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим каж­дое из со­бы­тий.

На­брать 6 очков за 2 брос­ка можно пятью спо­со­ба­ми: 1 + 5, 5 + 1, 2 + 4, 4 + 2 или 3 + 3. Всего же ва­ри­ан­тов вы­па­де­ния очков при брос­ке двух ку­би­ков Ве­ро­ят­ность со­бы­тия «сумма вы­пав­ших очков равна 6» равна 

На­брать 11 очков за 2 брос­ка можно двумя спо­со­ба­ми: 5 + 6 или 6 + 5. Всего же ва­ри­ан­тов вы­па­де­ния очков при брос­ке двух ку­би­ков Ве­ро­ят­ность со­бы­тия «сумма вы­пав­ших очков равна 11» равна 

Зна­чит, ве­ро­ят­ность со­бы­тия «сумма вы­пав­ших очков равна 6» боль­ше ве­ро­ят­но­сти со­бы­тия «сумма вы­пав­ших очков равна 11» на

Ответ: на 

Ре­ше­ние. Вы­чис­лим:

Ответ: 9.

Ре­ше­ние.

За­ме­тим, что так как луч AM  — бис­сек­три­са угла BAD. Сле­до­ва­тель­но, в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке AMD и Углы ADM и CMD равны как на­крест ле­жа­щие при па­рал­лель­ных пря­мых AD и BC и се­ку­щей MD, по­лу­ча­ем

зна­чит, тре­уголь­ник MCD  — рав­но­сто­рон­ний, тогда а Пе­ри­метр па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD:

Ответ: 84.