На товарищеском турнире школьников по шахматам каждый школьник сыграл с каждым другим не более одной партии, кроме того, каждый из них сыграл с приглашённым гроссмейстером не более одной партии. Всего было сыграно 25 партий. Какое наименьшее количество школьников могло участвовать в этом турнире?
Обозначим x количество участников (не считая гроссмейстера), тогда количество партий, которые сыграл гроссмейстер, не больше х, а количество партий между школьниками не больше 
Получаем, что общее количество партий не превосходит 
Получаем неравенство 
При x = 1 получаем неверное неравенство 
при x = 2 получаем неверное неравенство 
и т. д.,
при x = 6 получаем неверное неравенство 
при x = 7 получаем верное неравенство 
Наименьшее натуральное число, удовлетворяющее условию задачи, это 7.
Ответ: 7.