Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех чисел равно 50. Во вто­рой груп­пе сред­нее тоже 50. Это зна­чит, что сред­нее ариф­ме­ти­че­ское со­во­куп­но­сти чисел пер­вой и тре­тьей групп также 50. Пусть в тре­тьей груп­пе n чисел, а их сред­нее ариф­ме­ти­че­ское равно це­ло­му числу m. По­лу­ча­ем ра­вен­ство

от­ку­да

Число n яв­ля­ет­ся на­ту­раль­ным де­ли­те­лем числа 29². Воз­мож­но три ва­ри­ан­та:

Слу­чай не­воз­мо­жен, так как по усло­вию в пер­вой и тре­тьей груп­пах чисел не по­ров­ну. Слу­чай не­воз­мо­жен, так как Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: 1.

Будем рас­суж­дать сле­ду­ю­щим об­ра­зом. Число, ко­то­рое де­лит­ся на 15, де­лит­ся на 5 и на 3. Число де­лит­ся на 5, если его по­след­няя цифра  — 0 или 5. Если в числе па­лин­дро­ме по­след­няя цифра 0, то и пер­вая цифра тоже ноль, что не­воз­мож­но. Зна­чит, все па­лин­дро­мы, де­ля­щи­е­ся на 15, на­чи­на­ют­ся и за­кан­чи­ва­ют­ся на 5, и при этом сумма цифр де­лит­ся на 3.

Дву­знач­ных па­лин­дро­мов, де­ля­щих­ся на 15, нет (по­сколь­ку 55 на 3 не де­лит­ся). Трех­знач­ных всего три штуки (525, 555, 585). Че­ты­рех­знач­ных ана­ло­гич­но еще три: 5115, 5445, 5775.

Пя­ти­знач­ное число-па­лин­дром, крат­ное 15 имеет вид Будем те­перь для каж­до­го воз­мож­но­го x под­би­рать y так, чтобы сумма цифр числа де­ли­лась на 3. Если то (т. е. по­лу­ча­ет­ся ва­ри­ан­тов), если то (т. е. по­лу­ча­ет­ся ва­ри­ан­тов), если то (т. е. по­лу­ча­ет­ся ва­ри­ан­тов), Всего ва­ри­ан­та.

Зна­чит, всего не более чем пя­ти­знач­ных па­лин­дро­мов штук, при этом 39-е число это 59895 (вы­би­ра­ем мак­си­маль­но воз­мож­ную вто­рую цифру), 38−е 59 595, 37−е 59 295.

Ответ: 59 295.

Всего детей было играя по две пар­тии каж­дый с каж­дым они сыг­ра­ли между собой пар­тий и разыг­ра­ли очков. Из них у маль­чи­ков три чет­вер­ти очков, а у де­во­чек  — одна чет­верть, то есть у де­во­чек очков. За­ме­тим, что если каж­дая де­воч­ка вы­иг­ра­ла у всех маль­чи­ков, то вме­сте де­воч­ки на­бра­ли мак­си­мум очков, а играя между собой, де­воч­ки рас­пре­де­ли­ли очков. По­это­му наи­боль­шее ко­ли­че­ство очков, ко­то­рое могли на­брать де­воч­ки, равно Тем самым, имеем: Сле­до­ва­тель­но, де­во­чек не могло быть боль­ше одной.

Если де­воч­ка была одна, то маль­чи­ков было се­ме­ро. Они сыг­ра­ли 56 пар­тий и разыг­ра­ли 56 очков. Де­воч­ка на­бра­ла 14 очков, вы­иг­рав у каж­до­го из маль­чи­ков по две пар­тии. Играя между собой, маль­чи­ки разыг­ра­ли остав­ши­е­ся 42 очка.

Ответ: 1 де­воч­ка.

При­ведём по­хо­жее ре­ше­ние.

Пусть де­во­чек d, а маль­чи­ков В пар­ти­ях между собой де­воч­ки на­бра­ли очков, а маль­чи­ки в пар­ти­ях между собой на­бра­ли очков. Всего со­сто­я­лось пар­тий. Зна­чит, пар­тий между маль­чи­ка­ми и де­воч­ка­ми со­сто­я­лось Пусть де­воч­ки на­бра­ли в них x очков. Тогда по­лу­ча­ем урав­не­ние: от­ку­да или Ясно, что от­сю­да то есть или По­нят­но, что 0  — по­сто­рон­ний ко­рень. Если де­воч­ка была одна, то маль­чи­ков было 7, в слу­чае, когда де­воч­ка вы­иг­ра­ла у всех маль­чи­ков по два раза, она на­бра­ла 14 очков. При этом маль­чи­ки сыг­ра­ли между собой 42 пар­тии и на­бра­ли 42 очка, на­при­мер, сыг­ра­ли все эти пар­тии вни­чью или любым дру­гим об­ра­зом.

Пусть n и m  — число синих и крас­ных ка­ран­да­шей со­от­вет­ствен­но. Тогда

По­ло­жим то есть нуж­ная нам сумма, тогда и

Сле­до­ва­тель­но, от­ку­да

Можно ку­пить не боль­ше 33 ка­ран­да­шей. Оста­лось про­ве­рить, воз­мо­жен ли слу­чай, когда s = 33. При m = 14, n  =  19 по­лу­ча­ем

Зна­чит, наи­боль­шее воз­мож­ное число ка­ран­да­шей 33.

Ответ: 33.

Фор­ма­ли­зу­ем усло­вие за­да­чи. Пусть n сол­дат рас­став­ле­ны в k пол­ных ше­ренг, тогда Пусть если сол­дат рас­ста­вить по 11 че­ло­век, в по­след­ней ше­рен­ге ока­жет­ся m че­ло­век. Тогда На­ко­нец, пусть при рас­ста­нов­ке в ше­рен­ги по 7 че­ло­век в по­след­ней будет l че­ло­век. Тогда Cоста­вим си­сте­му и решим её:

В силу того, что m, l  — целые числа, по­лу­ча­ем един­ствен­ные под­хо­дя­щие зна­че­ния и Тогда а

Ответ: 230.