Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1)  «Если угол равен 45°, то вер­ти­каль­ный с ним угол равен 45°»  — верно, по тео­ре­ме о вер­ти­каль­ных углах.

2)  «Любые две пря­мые имеют ровно одну общую точку»  — не­вер­но, утвер­жде­ние спра­вед­ли­во толь­ко для пе­ре­се­ка­ю­щих­ся пря­мых.

3)  «Через любые три точки про­хо­дит ровно одна пря­мая»  — не­вер­но, не все­гда через три точки можно про­ве­сти одну пря­мую.

4)  «Если рас­сто­я­ние от точки до пря­мой мень­ше 1, то и длина любой на­клон­ной, про­ве­ден­ной из дан­ной точки к пря­мой, мень­ше 1.»  — не­вер­но, пер­пен­ди­ку­ляр, про­ведённый из точки к пря­мой, мень­ше любой на­клон­ной, про­ведённой из той же точки к этой пря­мой.

Ответ: 1.

Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1)  «Если при пе­ре­се­че­нии двух пря­мых тре­тьей пря­мой со­от­вет­ствен­ные углы равны 65°, то эти две пря­мые па­рал­лель­ны.»  — верно, так как если со­от­вет­ствен­ные углы равны, то пря­мые па­рал­лель­ны.

2)  «Любые две пря­мые имеют не менее одной общей точки.»  — не­вер­но, две пря­мые имеют не более одной общей точки.

3)  «Через любую точку про­хо­дит не более одной пря­мой.»  — не­вер­но, через одну точку про­хо­дит мно­же­ство пе­ре­се­ка­ю­щих­ся в этой точке пря­мых.

4)  «Любые три пря­мые имеют не менее одной общей точки.»  — не­вер­но, любые три пря­мые, ко­то­рые не сов­па­да­ют, если и имеют общую точку, то толь­ко одну.

Ответ: 1.

Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний:

1)  «Каж­дая сто­ро­на тре­уголь­ни­ка мень­ше раз­но­сти двух дру­гих сто­рон.»  — не­вер­но, так как если имеем, что

2)  «В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке име­ет­ся не более двух рав­ных углов.»  — не­вер­но, в рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке углы при ос­но­ва­нии равны, но они также могут быть равны и углу на­про­тив ос­но­ва­ния.

3)  «Если сто­ро­на и угол од­но­го тре­уголь­ни­ка со­от­вет­ствен­но равны сто­ро­не и углу дру­го­го тре­уголь­ни­ка, то такие тре­уголь­ни­ки равны.»  — не­вер­но, ра­вен­ство опре­де­ля­ет­ся по трем эле­мен­там.

4)  «В тре­уголь­ни­ке ABC, для ко­то­ро­го AB = 3, BC = 4, AC = 5, угол C наи­мень­ший.»  — верно, в тре­уголь­ни­ке про­тив боль­ше­го угла лежит боль­шая сто­ро­на.

Ответ: 4.

Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1)  «В тре­уголь­ни­ке про­тив мень­ше­го угла лежит боль­шая сто­ро­на.»  — не­вер­но, в тре­уголь­ни­ке на­про­тив боль­ше­го угла лежит боль­шая сто­ро­на.

2)  «Если один угол тре­уголь­ни­ка боль­ше 120°, то два дру­гих его угла мень­ше 30°.»  — не­вер­но, сумма углов в тре­уголь­ни­ке равна 180°.

3)  «Если все сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка мень­ше 1, то и хотя бы одна вы­со­та его боль­ше 1.»  — не­вер­но, пер­пен­ди­ку­ляр, про­ведённый из точки к пря­мой, мень­ше любой на­клон­ной, про­ведённой из той же точки к этой пря­мой.

4)  «Сумма ост­рых углов пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка не пре­вос­хо­дит 90°.»  — верно, сумма ост­рых углов тре­уголь­ни­ка равна 90°.

Ответ: 4.

Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1)  «Если рас­сто­я­ние между цен­тра­ми двух окруж­но­стей равно сумме их диа­мет­ров, то эти окруж­но­сти ка­са­ют­ся.»  — не­вер­но, если рас­сто­я­ние между цен­тра­ми двух окруж­но­стей равно сумме их ра­ди­у­сов, то эти окруж­но­сти ка­са­ют­ся.

2)  «Впи­сан­ные углы окруж­но­сти равны.»  — не­вер­но, угол, вер­ши­на ко­то­ро­го лежит на окруж­но­сти, а сто­ро­ны пе­ре­се­ка­ют окруж­ность, на­зы­ва­ет­ся впи­сан­ным углом. Они равны тогда, когда опи­ра­ют­ся на одну и ту же дугу.

3)  «Если впи­сан­ный угол равен 30°, то дуга окруж­но­сти, на ко­то­рую опи­ра­ет­ся этот угол, равна 60°.»  — верно, впи­сан­ный угол из­ме­ря­ет­ся по­ло­ви­ной дуги, на ко­то­рую он опи­ра­ет­ся.

4)  «Через любые че­ты­ре точки, не при­над­ле­жа­щие одной пря­мой, про­хо­дит един­ствен­ная окруж­ность.»  — не­вер­но, не­ко­то­рые точки могут не по­пасть на окруж­ность.

Ответ: 3.