Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1)  «Если угол равен 45°, то вер­ти­каль­ный с ним угол равен 45°»  — верно, по тео­ре­ме о вер­ти­каль­ных углах.

2)  «Любые две пря­мые имеют ровно одну общую точку»  — не­вер­но, утвер­жде­ние спра­вед­ли­во толь­ко для пе­ре­се­ка­ю­щих­ся пря­мых.

3)  «Через любые три точки про­хо­дит ровно одна пря­мая»  — не­вер­но, не все­гда через три точки можно про­ве­сти одну пря­мую.

4)  «Если рас­сто­я­ние от точки до пря­мой мень­ше 1, то и длина любой на­клон­ной, про­ве­ден­ной из дан­ной точки к пря­мой, мень­ше 1.»  — не­вер­но, пер­пен­ди­ку­ляр, про­ведённый из точки к пря­мой, мень­ше любой на­клон­ной, про­ведённой из той же точки к этой пря­мой.

Ответ: 1.