Паша написал пять натуральных (необязательно различных) чисел, а потом Лена вычислила все возможные попарные суммы этих чисел. Получилось всего три различных значения: 43, 54 и 65. Посмотрев на полученные Леной значения, Петя смог точно назвать наибольшее из написанных Пашей чисел. Какое это число? Запишите решение и ответ.
Докажем, что среди написанных чисел есть одинаковые. Действительно, если все написанные числа разные, то различных попарных сумм должно быть не менее четырёх, например, суммы одного числа с четырьмя остальными. Значит, среди попарных сумм есть суммы двух одинаковых натуральных чисел. Такая сумма должна быть чётной, в нашем списке это число 54. Отсюда следует, что среди написанных есть число 27 и оно написано не меньше двух раз. Одинаковых чисел, отличных от 27, быть не может, иначе среди попарных сумм было бы ещё одно чётное число.
Обозначим одно из трёх оставшихся чисел буквой x, тогда среди попарных сумм есть число 27 + x, значит, x равно либо 43 − 27 = 16, либо 65 − 27 = 38.
Наборы 27, 27, 27, 27, 16 и 27, 27, 27, 27, 38 нам не подходят, так как в них всего две различные попарные суммы. Значит, был написан набор 27, 27, 27, 38, 16. Таким образом, наибольшее число — это 38.
Ответ: 38.