Ре­ше­ние. До­ка­жем, что среди на­пи­сан­ных чисел есть оди­на­ко­вые. Дей­стви­тель­но, если все на­пи­сан­ные числа раз­ные, то раз­лич­ных по­пар­ных сумм долж­но быть не менее четырёх, на­при­мер, суммы од­но­го числа с че­тырь­мя осталь­ны­ми. Зна­чит, среди по­пар­ных сумм есть суммы двух оди­на­ко­вых на­ту­раль­ных чисел. Такая сумма долж­на быть чётной, в нашем спис­ке это число 80. От­сю­да сле­ду­ет, что на доске есть число 40 и оно на­пи­са­но не мень­ше двух раз. Пар рав­ных чисел, от­лич­ных от 40, на доске быть не может, иначе среди по­пар­ных сумм было бы ещё одно чётное число.

Обо­зна­чим одно из трёх остав­ших­ся чисел через x, тогда среди по­пар­ных сумм есть число 40 + x зна­чит, x равно либо 97 – 40 = 57, либо 63 – 40 = 23.

На­бо­ры 40, 40, 40, 40, 57 и 40, 40, 40, 40, 23 нам не под­хо­дят, так как в них всего две по­пар­ные суммы. Зна­чит, на доске на­пи­сан набор 40, 40, 40, 57, 23. Таким об­ра­зом, наи­боль­шее число на доске  — это 57.

Ответ: 57.