Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1)  «Через любые три точки про­хо­дит не более одной окруж­но­сти.»  — верно, Через любые три точки, не ле­жа­щие на одной пря­мой, про­хо­дит един­ствен­ная окруж­ность. Если точки лежат на одной пря­мой, то окруж­ность про­ве­сти не­воз­мож­но. Тем самым, через любые три точки можно про­ве­сти не более одной окруж­но­сти.

2)  «Если рас­сто­я­ние между цен­тра­ми двух окруж­но­стей боль­ше суммы их диа­мет­ров, то эти окруж­но­сти имеют 2 общие точки.»  — не­вер­но, если рас­сто­я­ние между цен­тра­ми мень­ше суммы их ра­ди­у­сов, но боль­ше мо­ду­ля раз­но­сти ра­ди­у­сов, то окруж­но­сти имеют две общие точки, если рас­сто­я­ние между цен­тра­ми равно сумме ра­ди­у­сов, то окруж­но­сти имеют одну общую точку, если рас­сто­я­ние боль­ше суммы ра­ди­у­сов, то окруж­но­сти не имеют общих точек.

3)  «Если ра­ди­у­сы двух окруж­но­стей равны 3 и 5, а рас­сто­я­ние между их цен­тра­ми равно 1, то эти окруж­но­сти пе­ре­се­ка­ют­ся»  — не­вер­но, окруж­ность, ра­ди­ус ко­то­рой равен 3, лежит внут­ри окруж­но­сти с ра­ди­у­сом 5.

4)  «Если дуга окруж­но­сти со­став­ля­ет 80°, то впи­сан­ный угол, опи­ра­ю­щий­ся на эту дугу окруж­но­сти, равен 160°»  — не­вер­но, впи­сан­ный угол из­ме­ря­ет­ся по­ло­ви­ной дуги, на ко­то­рую он опи­ра­ет­ся, по­это­му впи­сан­ный угол равен 40°.

Ответ: 1.