Ре­ше­ние. По­ка­жем, что диа­го­наль BD па­рал­ле­ло­грам­ма яв­ля­ет­ся его вы­со­той. От­рез­ки AB, AD и BD най­дем как ги­по­те­ну­зы пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков AKB, ALD и BMD (см. рис.) по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

По тео­ре­ме, об­рат­ной тео­ре­ме Пи­фа­го­ра, из ра­вен­ства сле­ду­ет, что тре­уголь­ник ADB  — пря­мо­уголь­ный с пря­мым углом D. Сле­до­ва­тель­но, BD  — вы­со­та па­рал­ле­ло­грам­ма, и не­об­хо­ди­мо найти от­но­ше­ние

Ответ: 2.

При­ме­ча­ние.

«Уви­деть» и по­ка­зать пер­пен­ди­ку­ляр­ность пря­мых AD и DB можно иначе.

Чи­та­тель, зна­ко­мый с три­го­но­мет­ри­ей, за­ме­тит, что углы ADL и NDB равны, по­сколь­ку их тан­ген­сы равны, а тогда

Чи­та­тель, вспом­нив­ший усло­вие пер­пен­ди­ку­ляр­но­сти пря­мых, сразу ска­жет, что

Чи­та­тель, зна­ко­мый с век­то­ра­ми, без труда про­ве­рит, что

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

Вы­де­лен­ные на ри­сун­ке синим цве­том пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки равны, а по­то­му и ги­по­те­ну­зы их равны. Сле­до­ва­тель­но, а по­то­му

Ответ: 2.

Ре­ше­ние. Обо­зна­чим вы­со­ту, про­ведённую из точки B к сто­ро­не AD от­рез­ком BH. За­ме­тим, что от­рез­ки AD и BH яв­ля­ют­ся ги­по­те­ну­за­ми пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра найдём AD и BH:

Так как BH яв­ля­ет­ся вы­со­той па­рал­ле­ло­грам­ма, то сто­ро­на AD мень­ше вы­со­ты, про­ведённой из точки B к сто­ро­не AD, в раза.

Ответ: 2.

Ре­ше­ние. По­ка­жем, что диа­го­наль BD па­рал­ле­ло­грам­ма яв­ля­ет­ся его вы­со­той. От­рез­ки AB, AD и BD най­дем как ги­по­те­ну­зы пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков AKB, ALD и BMD (см. рис.) по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

По тео­ре­ме, об­рат­ной тео­ре­ме Пи­фа­го­ра, из ра­вен­ства сле­ду­ет, что тре­уголь­ник ADB  — пря­мо­уголь­ный с пря­мым углом D. Сле­до­ва­тель­но, BD  — вы­со­та па­рал­ле­ло­грам­ма, и не­об­хо­ди­мо найти от­но­ше­ние

Ответ: 2.

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

Вы­де­лен­ные на ри­сун­ке синим цве­том пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки равны, а по­то­му и ги­по­те­ну­зы их равны. Сле­до­ва­тель­но, AD  =  2BD, а по­то­му AD : BD  =  2.