Тип Д19 C19 № 5818 
Свойства чисел. Задания прошедших ВПР
i
Дима написал пять натуральных (необязательно различных) чисел, а потом Маша вычислила все возможные попарные суммы этих чисел. Получилось всего три различных значения: 57, 70 и 83. Посмотрев на полученные Машей значения, Петя смог точно назвать наибольшее из написанных Димой чисел. Какое это число? Запишите решение и ответ.
Решение. Докажем, что среди написанных чисел есть одинаковые. Действительно, если все написанные числа разные, то различных попарных сумм должно быть не менее четырёх, например, суммы одного числа с четырьмя остальными. Значит, среди
попарных сумм есть суммы двух одинаковых натуральных чисел. Такая сумма должна быть чётной, в нашем списке это число 70. Отсюда следует, что среди написанных есть число 35 и оно написано не меньше двух раз.
Одинаковых чисел, отличных от 35, быть не может, иначе среди попарных сумм было бы ещё одно чётное число. Обозначим одно из трёх оставшихся чисел буквой х, тогда среди попарных сумм есть число 
значит, х равно либо 
либо 
Наборы 35, 35, 35, 35, 48 и 35, 35, 35, 35, 22 нам не подходят, так как в них всего две различные попарные суммы. Значит, был написан набор 35, 35, 35, 22, 48. Таким образом, наибольшее число — это 48.
Ответ: 48.
Критерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 2 |
| Дан верный ответ, но решение недостаточно обосновано, или дан неверный ответ из-за вычислительной ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: 48.
PDF-версии: