Ре­ше­ние. Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1)  «Около вся­ко­го тре­уголь­ни­ка можно опи­сать не более одной окруж­но­сти.»  — верно, oколо тре­уголь­ни­ка можно опи­сать окруж­ность, при­том толь­ко одну.

2)  «В любой тре­уголь­ник можно впи­сать более одной окруж­но­сти.»  — не­вер­но, в любой тре­уголь­ник можно впи­сать окруж­ность, при­том толь­ко одну.

3)  «Цен­тром окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка, яв­ля­ет­ся точка пе­ре­се­че­ния бис­сек­трис.»  — не­вер­но, цен­тром опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка окруж­но­сти яв­ля­ет­ся точка пе­ре­се­че­ния се­ре­дин­ных пер­пен­ди­ку­ля­ров тре­уголь­ни­ка.

4)  «Цен­тром окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник, яв­ля­ет­ся точка пе­ре­се­че­ния се­ре­дин­ных пер­пен­ди­ку­ля­ров к его сто­ро­нам.»  — не­вер­но, цен­тром впи­сан­ной в тре­уголь­ник окруж­но­сти яв­ля­ет­ся точка пе­ре­се­че­ния бис­сек­трис тре­уголь­ни­ка.

Ответ: 1.